Question

2．如圖所示，在正交坐標(biāo)系xOy的第一、四象限內(nèi)分別存在兩個(gè)大小相等、方向不同的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩組平行且等間距的實(shí)線分別表示兩個(gè)電場(chǎng)的電場(chǎng)線，每條電場(chǎng)線與x軸所夾的銳角均為60°．一質(zhì)子從y軸上某點(diǎn)A沿著垂直于電場(chǎng)線的方向射入第一象限，僅在電場(chǎng)力的作用下第一次到達(dá)x軸上的B點(diǎn)時(shí)速度方向正好垂直于第四象限內(nèi)的電場(chǎng)線，之后第二次到達(dá)x軸上的C點(diǎn)．求：
（1）質(zhì)子在A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度之比；
（2）OB與BC長度的比值．

Answer 1

分析 （1）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，粒子從A到B做類平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解為垂直于電場(chǎng)和平行于電場(chǎng)方向，根據(jù)幾何關(guān)系求出質(zhì)子在A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度之比；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解結(jié)合幾何關(guān)系求出OB和BC之比；

解答 解：（1）質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，在A、B兩點(diǎn)的速度分別為v₀、v，由題意知v與v₀的夾角為60⁰，
所以$\frac{v_0}{v}=cos{60^0}=\frac{1}{2}$
（2）設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a，從A運(yùn)動(dòng)到B經(jīng)歷的時(shí)間為t₁．
OB=ON+NB
由幾何關(guān)系：ON=AMsin30°
NB=MBcos30°
沿垂直于v₀方向上：$AM=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
沿平行于v₀方向上：MB=v₀t₁
在B點(diǎn)：vsin60°=at₁
v₀=vcos60°
聯(lián)立上述方程解得：OB=$\frac{9{v}_{0}^{2}}{4a}$
設(shè)質(zhì)子從B到C經(jīng)歷時(shí)間為t₂，作如圖輔助線，

沿CP方向：BCsin60°=vt₂
沿BP方向：$BCcos60°=\frac{1}{2}a{t}_{2}^{2}$
聯(lián)立求解：BC=$\frac{16{v}_{0}^{2}}{3a}$
所以：$\frac{OB}{BC}=\frac{27}{64}$
答：（1）質(zhì)子在A點(diǎn)和B點(diǎn)的速度之比$\frac{1}{2}$；
（2）OB與BC長度的比值$\frac{27}{64}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)題目的意思分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出幾何關(guān)系，畫輔助線是解題的重要手段．