Question

【題目】半徑為R的水平圓臺(tái)，可繞通過圓心O的豎直光滑細(xì)軸CC′轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，圓臺(tái)上沿相互垂直的兩個(gè)半徑方向刻有凹槽，質(zhì)量為mA的物體A放在一個(gè)槽內(nèi)，物體A與槽底間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，質(zhì)量為mB的物體B放在另一個(gè)槽內(nèi)，此槽是光滑的．AB間用一長(zhǎng)為l（l＜R）且不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過細(xì)軸相連．已知圓臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)（A、B兩物體可視為質(zhì)點(diǎn)，物體的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力）．

（1）當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω0 ， OA的長(zhǎng)度為l1時(shí)，試寫出A、B兩個(gè)物體受到的向心力大小的表達(dá)式．
（2）不論圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大，要使物體A和槽之間恰好沒有摩擦力，則OA的長(zhǎng)為多大？
（3）設(shè)OA長(zhǎng)為x，試分析圓臺(tái)的角速度ω和物體A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由向心力公式可得：

A向心力大小的表達(dá)式：FA=mAω02l1

B的向心力：FB=mBω02（l﹣l1）

（2）

解：設(shè)OA長(zhǎng)為l1，則OB為l﹣l1；

F=mAω2l1

F=mBω2（l﹣l1）

解得

（3）

解：當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且恰無摩擦?xí)r，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為

F=mAω2x，F(xiàn)=mBω2（l﹣x），聯(lián)立解得

當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒有做遠(yuǎn)離軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為

F+μmAg=mAω2x，F(xiàn)=mBω2（l﹣x）

，

當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒有做向軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為

F﹣μmAg=mAω2x，F(xiàn)=mBω2（l﹣x）

，

綜上分析可知

【解析】（1）已知轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，由題意可知兩物體的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，由向心力公式可求得向心力大小的表達(dá)式；（2）要使A球不受摩擦力，應(yīng)使繩子的拉力充當(dāng)兩物體的向心力，則兩球需要的向心力相等，聯(lián)立兩式可解得距離；（3）可分為兩物體恰無摩擦力、A恰好達(dá)到最大靜摩擦力和B恰好達(dá)到最大靜摩擦力三種情況分析，由牛頓第二定律可得出角速度及距離的可能值．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用向心力，掌握向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力即可以解答此題．