Question

14．一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電荷量為q，以與y軸成30⁰角的速度v從y軸上的a點(diǎn)進(jìn)入如圖中第一象限所在區(qū)域，為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸的b點(diǎn)以與x軸成60⁰角的速度射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋�(gè)垂直于xoy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)．試求這個(gè)圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑（質(zhì)點(diǎn)的重力忽略不計(jì)）．

Answer 1

分析 由題意分析粒子的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確粒子運(yùn)動(dòng)可能的軌跡；再根據(jù)牛頓第二定律求出半徑；明確圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是以磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)弦為直徑的圓．

解答 解：根據(jù)牛頓第二定律：qv₀B=m$\frac{v_0^2}{R}$，
則粒子在磁場(chǎng)中做圓周的半徑為：R=$\frac{{m{v_0}}}{qB}$，
根據(jù)題意，粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道為半徑等于R的圓上的$\frac{1}{3}$圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切，如圖所示，
則到入射方向所在直線和出射方向所在直線相距為R的O′點(diǎn)就是圓周的圓心．粒子在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道就是以O(shè)′為圓心、R為半徑的圓上
的圓弧ef，而e點(diǎn)和f點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上，在通過(guò)e、f兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以ef連線為直徑的圓周．
即得圓形區(qū)域的最小半徑為：r=Rsin60°=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}}}{2qB}$，
則這個(gè)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的最小面積為：S_min=πr²=$\frac{3}{4}$π（$\frac{{m{v_0}}}{qB}$）²
答：這個(gè)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的最小面積為$\frac{3}{4}$π（$\frac{{m{v_0}}}{qB}$）²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查磁場(chǎng)區(qū)域面積的極值問(wèn)題，此題的關(guān)鍵是確定出圓心，明確粒子可能的運(yùn)動(dòng)軌跡，且從a到b有圓周運(yùn)動(dòng)和一段直線運(yùn)動(dòng)．