Question

5．地球周圍有磁場(chǎng)，由太空射來的帶電粒子在此磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)稱為磁漂移．以下描述的是一種假設(shè)的磁漂移運(yùn)動(dòng)．一帶正電的粒子在x=0、y=0處沿y方向以某一速度v₀運(yùn)動(dòng)，空間存在垂直于圖中紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y＞0的區(qū)域中，磁感強(qiáng)度為B₁，在y＜0的區(qū)域中磁感強(qiáng)度為B₂，B₂＞B₁，如圖所示．
（1）把粒子在出發(fā)點(diǎn)x=0處作為第0次過x軸，試求粒子到第n次過x軸整個(gè)過程中，在x軸方向的平均速度v與v₀之比，n只取奇數(shù)．
（2）若B₂：B₁=4，當(dāng)n很大時(shí)，v：v₀趨于何值．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出粒子的軌道半徑與周期，然后由平均速度公式求出平均速度，再求出速度之比．
（2）根據(jù)速度之比的表達(dá)式求出當(dāng)B₂：B₁=4、n很大時(shí)，速度比值的極限值．

解答 解：（1）設(shè)粒子的電量為q，質(zhì)量為m，在B₁和B₂中運(yùn)動(dòng)軌道的半徑分別為r₁和r₂，周期分別是T₁和T₂．
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，
解得：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$…①，
r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$…②
T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$…③
T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$…④
設(shè)用x表示第n次（n取奇數(shù)）過x軸時(shí)沿x方向的位移的大小，用t表示從開始到此時(shí)的時(shí)間，
則有：x=$\frac{n+1}{2}$×2r₁-$\frac{n-1}{2}$×2r₂ …⑤
t=$\frac{n+1}{2}$$\frac{{T}_{1}}{2}$+$\frac{n-1}{2}$$\frac{{T}_{2}}{2}$…⑥
由①到⑥可得：$\frac{v}{{v}_{0}}$=$\frac{\frac{x}{t}}{{v}_{0}}$=$\frac{2[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}-（n-1）]}{π[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}+（n-1）]}$…⑦
（2）若B₂：B₁=4，當(dāng)n很大時(shí)，$\frac{v}{{v}_{0}}$趨于$（\frac{v}{{v}_{0}}）_{n→∞}$=$\frac{6}{5π}$…⑧
答：（1）在x軸方向的平均速度v與v₀之比為$\frac{2[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}-（n-1）]}{π[（n+1）\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}+（n-1）]}$．
（2）若B₂：B₁=4，當(dāng)n很大時(shí)，v：v₀趨于$\frac{6}{5π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的半徑公式與周期公式的應(yīng)用，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用洛倫茲力公式與牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑與周期即可解題．