Question

【題目】如圖所示，在坐標(biāo)系內(nèi)，時(shí)，一質(zhì)量為的小球以的正方向速度開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，與0點(diǎn)間連接著一勁度系數(shù)為，原長(zhǎng)的彈簧，且，現(xiàn)有一小狗從點(diǎn)出發(fā)，追球，且追蹤時(shí)線路滿足如下規(guī)律：（出發(fā)時(shí)）

（1）任意時(shí)刻，狗、球、三點(diǎn)共線

（2）任意時(shí)刻，狗、球的速度滿足：

（下標(biāo)中，分別表示速度在，方向上的分量）試求：狗追上球的軌跡方程和時(shí)間

Answer 1

【答案】詳情見(jiàn)解析

【解析】

首先，我們確定的運(yùn)動(dòng)軌跡．

如圖甲所示分解力，則，

故在、方向上均做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，可設(shè)

則，其中，設(shè)為

代入初始條件，則，；，

設(shè)，故球軌跡為，為一橢圓

現(xiàn)在我們將新建一坐標(biāo)，使得新舊坐標(biāo)滿足關(guān)系，

故在中軌跡為一圓，且，

另外，在新坐標(biāo)下的速度與舊坐標(biāo)的關(guān)系為，

而由題意有

則，所以，

而在系中，狗、球、三點(diǎn)共線，則，故，

所以，

所以中，狗、球、依然共線

即在新坐標(biāo)系中，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球沿以為圓心，為半徑的圓周做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而狗以相同速率去追球，且保證狗、球、三點(diǎn)共線，我們進(jìn)行小量分析，設(shè)時(shí)刻，狗在的位置，此極坐標(biāo)是以為極點(diǎn)，為極軸建立的，則如圖所示．

設(shè)．

故而

令，則，

而，所以，

開(kāi)始時(shí)，，所以，，即（這是極坐標(biāo)下圓的方程）

從而在中，狗的軌跡方程為

故在中，狗的軌跡方程為，其中

從而易知