Question

（2009?金山區(qū)二模）如圖所示，長為L的細(xì)繩，一端系有一質(zhì)量為m的小球，另一端固定在O點(diǎn)．細(xì)繩能夠承受的最大拉力為7mg．現(xiàn)將小球拉至細(xì)繩呈水平位置，然后由靜止釋放，小球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)擺動(dòng)．如果在豎直平面內(nèi)直線OA（OA與豎直方向的夾角為θ）上某一點(diǎn)O′釘一個(gè)小釘，為使小球可繞O′點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，且細(xì)繩不致被拉斷，求：OO′的長度d所允許的范圍．

Answer 1

分析：設(shè)小球繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，恰能過最高點(diǎn)時(shí)速度為v_D，根據(jù)向心力公式求出最高點(diǎn)速度，由水平到最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律求得最大半徑，對小球在小圓最低點(diǎn)時(shí)由向心力公式結(jié)合機(jī)械能守恒定律出最小半徑，進(jìn)而求出半徑的范圍，由于d=L-r，即可求出d的范圍．

解答：解：為使小球能繞O′點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在最高點(diǎn)D對繩的拉力F₁應(yīng)該大于或等于零，即有：mg≤m

V 2 D

L-d

①
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 D

=mg[dcosθ-(L-d)]②
因?yàn)樾∏蛟谧畹忘c(diǎn)C對繩的拉力F₂應(yīng)該小于或等于7mg，即有：F2-mg=m

V 2 c

L-d

≤7mg-mg③
根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 c

=mg[dcosθ+(L-d)]④
由①②③④式解得：

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．     
答：OO′的長度d所允許的范圍為

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．

點(diǎn)評：本題主要考查了機(jī)械能定理及向心力公式的應(yīng)用，要注意小球能最高點(diǎn)對速度有要求，在最低時(shí)繩子的拉力不能超過最大承受力，難度適中．