Question

（15分）一質(zhì)量為的平頂小車(chē)，以速度沿水平的光滑軌道作勻速直線運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一質(zhì)量為的小物塊無(wú)初速地放置在車(chē)頂前緣。已知物塊和車(chē)頂之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為。

1. 若要求物塊不會(huì)從車(chē)頂后緣掉下，則該車(chē)頂最少要多長(zhǎng)？
2. 若車(chē)頂長(zhǎng)度符合1問(wèn)中的要求，整個(gè)過(guò)程中摩擦力共做了多少功？

Answer 1

參考解答

1. 物塊放到小車(chē)上以后，由于摩擦力的作用，當(dāng)以地面為參考系時(shí)，物塊將從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，而小車(chē)將做減速運(yùn)動(dòng)，若物塊到達(dá)小車(chē)頂后緣時(shí)的速度恰好等于小車(chē)此時(shí)的速度，則物塊就剛好不脫落。令表示此時(shí)的速度，在這個(gè)過(guò)程中，若以物塊和小車(chē)為系統(tǒng)，因?yàn)樗�平方向未受外力，所以此方向上�?dòng)量守恒，即

（1）

從能量來(lái)看，在上述過(guò)程中，物塊動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)物塊所做的功，即

　（2） 　

其中為物塊移動(dòng)的距離。小車(chē)動(dòng)能的增量等于摩擦力對(duì)小車(chē)所做的功，即

（3）

其中為小車(chē)移動(dòng)的距離。用表示車(chē)頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度，則

（4）

由以上四式，可解得

（5）

即車(chē)頂?shù)拈L(zhǎng)度至少應(yīng)為。

2．由功能關(guān)系可知，摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，即

（6）

由（1）、（6）式可得

（7）