Question

如圖所示，光滑半圓弧絕緣軌道半徑為R，OA為水平半徑，BC為豎直直徑．一質(zhì)量為m且始終帶+q電量的小物塊自A處以某一豎直向下的初速度滑下，進(jìn)入與C點(diǎn)相切的粗糙水平絕緣滑道CM上，在水平滑道上有一輕彈簧，其一端固定在豎直墻上，另一端恰位于滑道的末端C點(diǎn)，此時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)．物塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧最大彈性勢(shì)能為E_P，物塊被彈簧反彈后恰能通過(guò)B點(diǎn)．己知物塊與水平滑道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，直徑BC右側(cè)所處的空間（包括BC邊界）有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且電場(chǎng)力為重力的一半．求：
（1）彈簧的最大壓縮量d；
（2）物塊從A處開(kāi)始下滑時(shí)的初速度v₀．

Answer 1

分析：（1）由題意，物塊恰能通過(guò)B點(diǎn)，由重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律可求得通過(guò)B點(diǎn)的速度．物塊由C到B過(guò)程和彈簧從壓縮到最短開(kāi)始，至物塊被彈離彈簧的過(guò)程中，由動(dòng)能定理或能量守恒定律列式求解即可．
（2）物塊從A處下滑至彈簧被壓縮到最短的過(guò)程中，由能量守恒定律列式求解v₀即可．

解答：解：（1）設(shè)物塊剛離開(kāi)彈簧時(shí)速度為v₁，恰能通過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v₂．
由題意可知：
   mg-qE=m

v 2 2

R

 ①
又qE=0.5mg  ②
在物塊由C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
  qE?2R-2mgR=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

  ③
解得 v₁=

2.5gR

彈簧從壓縮到最短開(kāi)始，至物塊被彈離彈簧的過(guò)程中，由能量守恒定律得：
 

1

2

m

v

2 1

+μmgd=E_p ④
聯(lián)立③④解得：d=

Ep

μmg

-

5R

2μ

 ⑤
（2）物塊從A處下滑至彈簧被壓縮到最短的過(guò)程中，由能量守恒定律得：
 

1

2

m

v

2 0

+mgR=E_p+μmgd ⑥
解⑤⑥可得：v₀=

4Ep m - 9gR 2

 ⑦
答：
（1）彈簧的最大壓縮量d是

Ep

μmg

-

5R

2μ

；
（2）物塊從A處開(kāi)始下滑時(shí)的初速度v₀是

4Ep m - 9gR 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要細(xì)心分析物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和狀態(tài)，找出最高點(diǎn)B的臨界條件，抓住過(guò)程中能量守恒是解題的關(guān)鍵．