Question

3．如圖所示，固定的光滑金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場中，導(dǎo)軌較寬部分寬度為L₁，較窄部分寬度為L₂，質(zhì)量為m₁的導(dǎo)體棒ab與固定彈簧相連后放在較寬導(dǎo)軌上，較窄導(dǎo)軌上固定兩立柱，其上放置一質(zhì)量為m₂導(dǎo)體棒cd，導(dǎo)體棒ab、cd接入電路的電阻分別為R、r．初始時(shí)刻，彈簧恰處于自然長度，導(dǎo)體棒ab具有沿軌道向上的初速度，此時(shí)兩立柱對導(dǎo)體棒cd的支持力恰好為零．整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，導(dǎo)體棒ab始終與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸，導(dǎo)體棒cd始終靜止不動(dòng)．已知彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧的中心軸線與導(dǎo)軌平行，重力加速度為g．求：
（1）初始時(shí)刻通過導(dǎo)體棒cd的電流I的大小和方向；
（2）初始時(shí)刻導(dǎo)體棒ab速度大小v₀及加速度大小a₀；
（3）已知導(dǎo)體棒ab最終靜止時(shí)彈簧的彈性勢能為E_p，導(dǎo)體棒ab從初始時(shí)刻直到停止的過程中，導(dǎo)體棒ab上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁．

Answer 1

分析 （1）初始時(shí)刻兩立柱對導(dǎo)體棒cd的支持力恰好為零，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件求解電流強(qiáng)度，根據(jù)左手定則判斷電流方向；
（2）根據(jù)導(dǎo)體棒ab切割磁感應(yīng)線計(jì)算根據(jù)電動(dòng)勢，結(jié)合閉合電路的歐姆定律計(jì)算初速度；對導(dǎo)體棒ab根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算加速度；
（3）導(dǎo)體棒最終靜止，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件計(jì)算彈簧壓縮量；根據(jù)能量守恒定律結(jié)合串聯(lián)電路的特點(diǎn)求解導(dǎo)體棒ab上產(chǎn)生的焦耳熱Q₁．

解答 解：（1）初始時(shí)刻兩立柱對導(dǎo)體棒cd的支持力恰好為零，則有：
BIL₂=m₂gsinθ，
解得：I=$\frac{{m}_{2}gsinθ}{B{L}_{2}}$，
根據(jù)左手定則可知電流方向由d到c；
（2）初始時(shí)刻導(dǎo)體棒ab切割磁感應(yīng)線，則有：E=BL₁v₀，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得：E=I（R+r）
解得：v₀=$\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
由于此時(shí)彈簧處于原長，對導(dǎo)體棒ab根據(jù)牛頓第二定律可得：
m₁gsinθ+BIL₁=m₁a₀，
解得：a₀=gsinθ+$\frac{{m}_{2}gsinθ{L}_{1}}{{m}_{1}{L}_{2}}$；
（3）導(dǎo)體棒最終靜止，則有：m₁gsinθ=kx，
設(shè)整個(gè)過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，根據(jù)能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}+{m}_{1}gxsinθ={E}_{p}+Q$，
導(dǎo)體棒ab上的焦耳熱：Q₁=$\frac{R}{R+r}Q$，
解得：Q₁=$\frac{R}{R+r}[\frac{1}{2}{m}_{1}{（\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}）}^{2}+{\frac{（{m}_{1}gsinθ）}{k}}^{2}-{E}_{p}]$．
答：（1）初始時(shí)刻通過導(dǎo)體棒cd的電流I的大小為$\frac{{m}_{2}gsinθ}{B{L}_{2}}$、方向由d到c；
（2）初始時(shí)刻導(dǎo)體棒ab速度大小為$\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}$，加速度大小為gsinθ+$\frac{{m}_{2}gsinθ{L}_{1}}{{m}_{1}{L}_{2}}$；
（3）導(dǎo)體棒ab上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{R}{R+r}[\frac{1}{2}{m}_{1}{（\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}）}^{2}+{\frac{（{m}_{1}gsinθ）}{k}}^{2}-{E}_{p}]$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下的平衡問題；另一條是能量，分析能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．