Question

6．豎直平面內(nèi)的直軌道AB與$\frac{3}{4}$圓弧形軌道BCD在B處相切，半徑OD=R與水平方向成45°角，如圖所示，整個(gè)軌道光滑絕緣，質(zhì)量為m的帶電小球從直軌道上某點(diǎn)由靜止開始沿軌道下滑，當(dāng)小球下滑到B點(diǎn)時(shí)，在空間加上水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，小球恰能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，至D后沿直線DP垂直打在直軌道上的P點(diǎn)．
（1）求小球由靜止下滑的位置離圓弧軌道最低點(diǎn)的高度；
（2）若在小球從同一位置由靜止下滑到B點(diǎn)時(shí)，在空間加上水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小仍為E，則小球能否沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)？若不能，簡要說明理由；若能，試確定小球過D點(diǎn)后打在軌道上的位置到P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）抓住小球離開D點(diǎn)后做直線運(yùn)動(dòng)，得出電場(chǎng)力的方向以及電場(chǎng)力的大小，根據(jù)合力得出等效最高點(diǎn)，結(jié)合牛頓第二定律求出等效最高點(diǎn)的速度，通過動(dòng)能定理求出小球由靜止下滑的位置離圓弧軌道最低點(diǎn)的高度；
（2）確定出等效最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理求出等效最高點(diǎn)的速度，與臨界速度比較，判斷能否沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，若能，分析小球離開D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出小球過D點(diǎn)后打在軌道上的位置到P點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）在空間加上水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球恰能沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，過D后沿直線DP運(yùn)動(dòng)，垂直打在P點(diǎn)，可知合力的方向與DP在同一直線上，且沿DP方向，
過O點(diǎn)作出圓周運(yùn)動(dòng)的等效最高點(diǎn)E，如圖所示．
根據(jù)平行四邊形定則，結(jié)合合力的方向知，重力和電場(chǎng)力大小相等，
在等效最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：$\sqrt{2}mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得等效最高點(diǎn)E的速度為：v=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：mg（h-R-$\frac{\sqrt{2}}{2}R$）$-qE•\sqrt{2}R$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：h=（$2\sqrt{2}+1$）R．
（2）在空間加上水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小仍為E，則等效最高點(diǎn)在D點(diǎn)，D與E點(diǎn)等高．
同理等效最高點(diǎn)的速度的最小速度為：v′=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得：$mg（h-R-\frac{\sqrt{2}}{2}R）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=$\sqrt{\sqrt{3}gR}$＞v′，知小球能夠沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．
在D點(diǎn)，合力的方向與速度方向垂直，做類平拋運(yùn)動(dòng)，到達(dá)斜面的時(shí)間為：t=$\frac{R}{{v}_{1}}$，
則打在軌道上的位置到P點(diǎn)的距離為：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，a=$\frac{\sqrt{2}mg}{m}=\sqrt{2}g$，
聯(lián)立解得：s=$\frac{\sqrt{6}}{6}R$．
答：（1）小球由靜止下滑的位置離圓弧軌道最低點(diǎn)的高度為（$2\sqrt{2}+1$）R．
（2）小球過D點(diǎn)后打在軌道上的位置到P點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{6}}{6}R$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合場(chǎng)的問題，確定出小球在圓軌道中運(yùn)動(dòng)的等效最高點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵，本題涉及到動(dòng)能定理、牛頓第二定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、力的合成等知識(shí)點(diǎn)，涉及到圓周運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高．