Question

5．如圖所示的豎直直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)有兩條過原點(diǎn)的射線OA和OB與x軸的正半軸和負(fù)半軸都成45°角，在x軸上方∠AOB區(qū)域間分布著方向垂直紙面向外大小為B₁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸的下方存在著方向垂直紙面向外大小為B₂=$\frac{mv}{qL}$勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以速度v從位于直線OA上的P（L，L）點(diǎn)豎直向下射出，經(jīng)過測(cè)量發(fā)現(xiàn)，此粒子每經(jīng)過相同的時(shí)間T會(huì)回到P點(diǎn)，（不計(jì)粒子重力）
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比；
（2）若保持B₂不變，而∠AOB間的磁場(chǎng)方向不變，現(xiàn)從P點(diǎn)向下發(fā)射兩個(gè)速度在0～$\frac{v}{2}$圍內(nèi)（0＜v≤$\frac{v}{2}$）與原來相同的帶電粒子（不計(jì)兩個(gè)粒子間的相互作用力），它們進(jìn)入∠AOB強(qiáng)磁場(chǎng)后都要經(jīng)過P點(diǎn)，求∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B₁′的大小．
（3）在滿足題（2）中的條件下，求從P點(diǎn)出發(fā)后又回到P點(diǎn)的最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子從P點(diǎn)向下，運(yùn)動(dòng)過程的軌跡圖畫出來，根據(jù)對(duì)稱性，在上下兩磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相等．
（2）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，通過幾何關(guān)系可知在上面磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑是下方磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑的2倍，粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，在上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周，再由半徑公式得出磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，從而求出上方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）從P點(diǎn)以$\frac{v}{2}$向下運(yùn)動(dòng)的粒子回到P點(diǎn)所用時(shí)間最短，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出粒子在各階段所以時(shí)間，然后求出總的最短時(shí)間．

解答 解：（1）由P點(diǎn)射出的粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂中，
設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，

由牛頓第二定律得：qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，解得：R₂=$\frac{mv}{q{B}_{2}}$=L，
粒子每經(jīng)過相同時(shí)間T會(huì)回到P點(diǎn)，必滿足在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁中半徑R₁大小為L(zhǎng)，
由牛頓第二定律得：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$解得：R₁=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=L，則：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$=1；
（2）從P點(diǎn)向下發(fā)射速度為v_X滿足范圍為：0-$\frac{v}{2}$，
與原來相同的帶電粒子，由于保持B₂不變，當(dāng)速度v時(shí)半徑為L(zhǎng)，
則速度為0-$\frac{v}{2}$的粒子在B₂磁場(chǎng)中必定經(jīng)過半個(gè)周期后在x軸正半軸間返回，
如圖2所示，進(jìn)入B₁′勻強(qiáng)磁場(chǎng)后都要經(jīng)過P點(diǎn)，
則在B₁′磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為B₂磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑的兩倍，
即：2$\frac{m{v}_{X}}{q{B}_{2}}$=$\frac{m{v}_{X}}{q{B}_{1}′}$，解得：$\frac{{B}_{1}′}{{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即：B₁′=$\frac{{B}_{2}}{2}$=$\frac{mv}{2qL}$；
（3）從第二問分析可知，從P點(diǎn)以$\frac{v}{2}$向下運(yùn)動(dòng)的粒子回到P點(diǎn)所用時(shí)間最短，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在B₁′的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{πm}{2q{B}_{1}′}$=$\frac{πL}{v}$，
在B₂的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{πm}{q{B}_{2}}$=$\frac{πL}{v}$，
在無場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間為：t₃=$\frac{L}{v}$，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_總=t₁+t₂+t₃=$\frac{2πL}{v}$+$\frac{L}{v}$；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比為1；
（2）∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B₁′的大小為$\frac{mv}{2qL}$．
（3）在從P點(diǎn)出發(fā)后又回到P點(diǎn)的最短時(shí)間為：$\frac{2πL}{v}$+$\frac{L}{v}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，根據(jù)粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，依據(jù)幾何特性作圖時(shí)解題關(guān)鍵，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)由牛頓第二定律與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以解題．