Question

13．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy的第一象限中兩個(gè)相同的直角三角形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ內(nèi)分別充滿了方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$l，l），質(zhì)量為m，帶電荷量為q的正電荷從A（ $\frac{\sqrt{3}}{3}$l，l）點(diǎn)以一定的速度平行于y方向垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，并從x軸上的D點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）垂直x軸離開(kāi)磁場(chǎng)，電荷重力不計(jì)．
  （1）求D點(diǎn)的位置坐標(biāo)及電荷進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度大小v；
  （2）若將區(qū)域Ⅱ內(nèi)的磁場(chǎng)換成沿-x軸方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，該粒子仍從A點(diǎn)以原速度進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，并最終仍能垂直x軸離開(kāi)，求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E．

Answer 1

分析 （1）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性得出D點(diǎn)的位置坐標(biāo)．根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求出速度的大小．
（2）作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，逆過(guò)來(lái)看，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求出勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)．

解答 解：（1）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子從OC的中點(diǎn)O′進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅱ，且AC=OD，
則D的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}l$，0）．

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為r，在磁場(chǎng)Ⅰ中的軌跡所對(duì)的圓心角為θ，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
$rsinθ=\frac{1}{2}l$，$r-rcosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}l-\frac{\sqrt{3}}{3}l$，
解得$θ=\frac{π}{3}$，$r=\frac{\sqrt{3}}{3}l$．

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，速度大小v=$\frac{qBr}{m}$，故v=$\frac{\sqrt{3}qBl}{3m}$．
（2）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，加速度大小為a，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解可知，在x軸方向：
0-vsinθ=-at，
則y軸方向：$vtcosθ=\frac{1}{2}l$，
其中qE=ma，
聯(lián)立解得E=$\frac{\sqrt{3}qBl}{6m}$．
答：（1）D點(diǎn)的位置坐標(biāo)及電荷進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度大小為$\frac{\sqrt{3}qBl}{3m}$．
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為$\frac{\sqrt{3}qBl}{6m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，掌握處理圓周運(yùn)動(dòng)和類平拋運(yùn)動(dòng)的方法，結(jié)合幾何關(guān)系和圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式進(jìn)行求解．