Question

20．據(jù)報道，目前我國正在研制“螢火二號”火星探測器．探測器升空后，先在近地軌道上以線速度v環(huán)繞地球飛行，在適當(dāng)?shù)奈恢肞點火，進(jìn)入Q點后被火星俘獲，最后再一次調(diào)整速度以線速度v′在火星表面附近環(huán)繞飛行，若認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，已知火星與地球的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，設(shè)火星與地球表面重力加速度分別為g′和g，下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． g′：g=4：1
• B． 在P點啟動火箭向運動方向噴氣
• C． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
• D． v′：v=$\sqrt{\frac{5}{14}}$

Answer 1

分析 在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$，根據(jù)質(zhì)量與密度的關(guān)系，代入化簡可得出重力加速度與密度和半徑的關(guān)系，進(jìn)一步計算重力加速度之比．
根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$和M=ρ•$\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$化簡解出速度的表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)化簡可得速度之比．

解答 解：A、在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，所以g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{G•ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πGρR，則$\frac{g′}{g}$=$\frac{ρ′}{ρ}$•$\frac{R′}{R}$=$\frac{5}{7}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{14}$，故A錯誤；
B、在P點變軌時，啟動火箭向后噴氣，使之做離心運動，才能逐漸脫離地球的引力束縛．故B錯誤；
CD、探測器繞地球表面運行和繞月球表面運行都是由萬有引力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ①，M為中心天體質(zhì)量，R為中心天體半徑．M=ρ•$\frac{4}{3}$πR³②由①②得：v=$\sqrt{\frac{4πGρ{R}^{2}}{3}}$；已知地球和火星的半徑之比為1：2，密度之比為5：7，所以探測器繞地球表面運行和繞月球表面運行線速度大小之比為：
$\frac{v′}{v}$=$\sqrt{（\frac{R′}{R}）^{2}\frac{ρ′}{ρ}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}×\frac{5}{7}}$=$\sqrt{\frac{5}{28}}$
故C正確、D錯誤．
故選：C

點評 解決本題的關(guān)鍵掌重力等于萬有引力這個關(guān)系，求一個物理量，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較求解．