Question

19．如圖所示，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于傾角為θ的絕緣斜面向上．斜面上固定有角度為60°的“A”形光滑金屬導(dǎo)軌MPN，MN連線水平．以MN中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OP為x軸建立一錐坐標(biāo)系Ox．一根質(zhì)量為m、粗細(xì)均勻的導(dǎo)體棒CD與一端固定在O點(diǎn)的彈簧連接后垂直于x軸放在導(dǎo)軌上．初始時刻，導(dǎo)體棒在導(dǎo)軌之間的長度為L，彈簧恰處于自然長度，導(dǎo)體棒具有沿導(dǎo)軌向上的初速度v₀．整個運(yùn)動過程中導(dǎo)體棒始終與x軸垂直并與導(dǎo)軌保持良好接觸．已知彈簧的勁度系數(shù)為k，彈簧的中心軸線與x軸平行，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒長度的電阻均為r．
（1）求初始時刻通過導(dǎo)體棒的電流I的大小和方向；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，求此時導(dǎo)體棒的加速度大小a；
（3）若導(dǎo)體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動到停止的過程中，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律求初始時刻的電動勢，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，由右手定則判斷出電流方向；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒第一次回到初始位置時，應(yīng)用E=BLv求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由牛頓第二定律求出加速度；
（3）根據(jù)平衡求出彈簧的壓縮量，可利用能量守恒定律求出產(chǎn)生焦耳熱．

解答 解：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，初始時刻，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為${E}_{1}^{\;}=BL{v}_{0}^{\;}$
由于導(dǎo)軌的角度為60°，可知回路中導(dǎo)軌的長度為2L，根據(jù)閉合電路歐姆定律可得：
導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流$I=\frac{{E}_{1}^{\;}}{{R}_{總}^{\;}}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{3Lr}=\frac{B{v}_{0}^{\;}}{3r}$
根據(jù)右手定則，可判斷出導(dǎo)體棒中感應(yīng)電流的方向為由C到D
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒第一次回到初始位置時，導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為${E}_{2}^{\;}=BLv$
導(dǎo)體棒中的感應(yīng)電流${I}_{2}^{\;}=\frac{{E}_{2}^{\;}}{3Lr}=\frac{Bv}{3r}$
導(dǎo)體棒受到的安培力為$F=B{I}_{2}^{\;}L=\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3r}$，方向沿斜面向上
根據(jù)牛頓第二定律有mgsinθ-F=ma
解得：$a=gsinθ-\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3mr}$
（3）導(dǎo)體棒最終靜止時，設(shè)彈簧的壓縮量為d，有
mgsinθ=kd
解得$d=\frac{mgsinθ}{k}$
設(shè)整個過程回路中產(chǎn)生的焦耳熱為${Q}_{0}^{\;}$，根據(jù)能量守恒定律有
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgdsinθ={E}_{p}^{\;}+{Q}_{0}^{\;}$
解得${Q}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}$
則導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱
$Q=\frac{1}{3}{Q}_{0}^{\;}=\frac{1}{3}[\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}]$
答：（1）求初始時刻通過導(dǎo)體棒的電流I的大小$\frac{B{v}_{0}^{\;}}{3r}$和方向由C到D；
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒第一次回到初始位置時，速度變?yōu)関，此時導(dǎo)體棒的加速度大小a為$gsinθ-\frac{{B}_{\;}^{2}Lv}{3mr}$；
（3）若導(dǎo)體棒最終靜止時彈簧的彈性勢能為E_p，求導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動到停止的過程中，導(dǎo)體棒上產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{（mgsinθ）_{\;}^{2}}{k}-{E}_{p}^{\;}]$

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律得到感應(yīng)電流不變，明確感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件：磁通量變化，相反，磁通量不變時感應(yīng)電流為零，要注意明確在導(dǎo)體棒切割時產(chǎn)生的電流恒定．