Question

如圖10所示，質(zhì)量為m的小球，由長為l的細(xì)線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細(xì)線的另一端固定在A點(diǎn)，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點(diǎn)，且AE=0.5l，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現(xiàn)將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，不計(jì)細(xì)線與釘子碰撞時(shí)的能量損失，不考慮小球與細(xì)線間的碰撞．

（1）若釘鐵釘位置在E點(diǎn)，求細(xì)線與釘子碰撞前后瞬間，細(xì)線的拉力分別是多少？
（2）若小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值。

Answer 1

（1），（2） ≤x≤

試題分析：（1）小球釋放后沿圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，設(shè)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒定律得，碰釘子瞬間前后小球運(yùn)動(dòng)的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運(yùn)動(dòng)半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F₁，碰釘子后瞬間圓周運(yùn)動(dòng)半徑為l/2，碰釘子后瞬間線的拉力為F₂，由圓周運(yùn)動(dòng)、牛頓第二定律得：，
得，
（2）設(shè)在D點(diǎn)繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r₁=l－AD= l－
當(dāng)小球落到D點(diǎn)正下方時(shí)，繩受到的最大拉力為F，此時(shí)小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：F－mg=結(jié)合F≤9mg 
由機(jī)械能守恒定律得：mg (+r₁)= mv₁²
由上式聯(lián)立解得：x₁≤
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機(jī)械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點(diǎn)的瞬時(shí)速度越小，當(dāng)這個(gè)瞬時(shí)速度小于臨界速度時(shí)，小球就不能到達(dá)圓的最高點(diǎn)了．
設(shè)釘子在G點(diǎn)小球剛能繞釘做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)圓的最高點(diǎn)，設(shè)EG=x₂，
則：AG=  r₂=l－AG= l－在最高點(diǎn)：mg≤
由機(jī)械能守恒定律得：mg (—r₂)= mv₂²聯(lián)立得：x₂≥
釘子位置在水平線EF上距E點(diǎn)距離的取值范圍是： ≤x≤