Question

3．如圖所示，AB為固定在豎直面內、半徑為R的四分之一圓弧形光滑軌道，其末端（B點）切線水平，且距水平地面的高度也為R．1、2兩小滑塊（均可視為質點）用輕細繩拴接在一起，在它們中間夾住一個被壓縮的微小輕質彈簧．兩滑塊從圓弧形軌道的最高點A由靜止滑下，當兩滑塊滑至圓弧形軌道最低點時，拴接兩滑塊的細繩突然斷開，彈簧迅速將兩滑塊彈開，滑塊2恰好能沿圓弧形軌道運動到軌道的最高點A．已知R=0.45m，滑塊1的質量m₁=0.16kg，滑塊2的質量m₂=0.04kg，重力加速度g取10m/s²，空氣阻力可忽略不計．求：
（1）兩滑塊一起運動到圓弧形軌道最低點時速度的大小；
（2）滑塊2被彈簧彈開時的速度大��；
（3）滑塊1被彈簧彈開時的速度大�。�
（4）滑塊1被彈簧彈開時對軌道的壓力大��；
（5）滑塊1落地點到圓弧形軌道B點的水平距離；
（6）滑塊1落至水平地面上時的速度大小；
（7）滑塊1落至水平地面上時的速度；
（8）滑塊1落地時重力做功的功率．

Answer 1

分析 （1）從A到B點的過程，根據(jù)動能定理求兩滑塊一起運動到圓弧形軌道最低點時速度的大�。�
（2）滑塊2從B到A點的過程，運用動能定理求解．
（3）根據(jù)動量守恒定律求滑塊1被彈簧彈開時的速度大�。�
（4）根據(jù)牛頓第二定律和第三定律結合求滑塊1被彈簧彈開時對軌道的壓力大��；
（5）滑塊1離開軌道后做平拋運動，根據(jù)分位移的規(guī)律求水平距離．
（6）由分速度公式和速度合成求滑塊1落至水平地面上時的速度大小．
（7）由分速度關系求滑塊1落至水平地面上時的速度方向．
（8）根據(jù)P=mgv_y求滑塊1落地時重力做功的功率．

解答 解：（1）從A到B點的過程，根據(jù)動能定理得：$（{m_1}+{m_2}）gR=\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{v^2}$
解得，最低點速度大�。簐=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3.0m/s
（2）滑塊2從B到A點的過程，由據(jù)動能定理得：
-m₂gR=0-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=3m/s（方向水平向左）
（3）彈簧將兩滑塊彈開的過程，取水平向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得
  （m₁+m₂）v=m₁v₁+m₂（-v₂）
即$（{m_1}+{m_2}）\sqrt{2gR}={m_1}{v_1}+{m_2}（-\sqrt{2gR}）$
代入數(shù)據(jù)解得：滑塊1被彈簧彈開時的速度大小 v₁=4.5m/s（方向水平向右）
（4）滑塊1被彈簧彈開時，根據(jù)牛頓第二定律得
  ${F_1}-{m_1}g={m_1}\frac{v_1^2}{R}$
代入得${F_1}-1.6=0.16×\frac{{4.5_{\;}^2}}{0.45}$
解得  F₁=8.8N
根據(jù)牛頓第三定律，滑塊1被彈簧彈開時對軌道的壓力大小 F'=F₁=8.8N
（5）滑塊1離開軌道后做平拋運動，運動時間為 t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$s=0.3s
滑塊1落地點到圓弧形軌道B點的水平距離  s₁=v₁t₁=4.5×0.3=1.35m
（6）滑塊1落至水平地面上時豎直發(fā)速度大小 v_y=gt₁=10×0.3=3m/s
水平分速度大小 v_x=v₀=4.5m/s
所以落地時的速度大�。簐=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+4．{5}^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$m/s
（7）設滑塊1落至水平地面上時的速度與水平方向的夾角為α．
則 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{2}{3}$
得 α=$arctan\frac{2}{3}$
所以滑塊1落至水平地面上時的速度大小為v=$\frac{3}{2}\sqrt{13}$m/s，方向斜右向下，與水平方向夾角為$arctan\frac{2}{3}$．
（8）滑塊1落地時的重力功率：P_G=m₁gv_y=1.6×3=4.8W．
答：
（1）兩滑塊一起運動到圓弧形軌道最低點時速度的大小為3.0m/s．
（2）滑塊2被彈簧彈開時的速度大小是3.0m/s．
（3）滑塊1被彈簧彈開時的速度大小是4.5m/s．  
（4）滑塊1被彈簧彈開時對軌道的壓力大小是8.8N．  
（5）滑塊1落地點到圓弧形軌道B點的水平距離是1.35m．  
（6）滑塊1落至水平地面上時的速度大小是5.4m/s．  
（7）滑塊1落至水平地面上時的速度大小是5.4m/s  方向與水平方向arctan$\frac{2}{3}$．
（8）滑塊1落地時重力做功的功率是4.8W．

點評 解決本題首先要分析清楚物體的運動的情況，明確滑塊在軌道上運動時，機械能守恒．也可以用動能定理直接計算滑塊1落地時的速度大小．