Question

如圖甲所示，真空中的電極K連續(xù)不斷地發(fā)出電子（電子的初速度可忽略不計），經電壓為u的電場加速，加速電壓u隨時間t變化的圖象如圖乙所示．每個電子通過加速電場的過程時間極短，可認為加速電壓不變．電子被加速后由小孔S穿出，沿兩個彼此靠近且正對的水平金屬板A、B間中軸線從左邊緣射入A、B兩板間的偏轉電場，A、B兩板長均為L=0.20m，兩板之間距離d=0.050m，A板的電勢比B板的電勢高．A、B板右側邊緣到豎直放置的熒光屏P（面積足夠大）之間的距離b=0.10m．熒光屏的中心點O與A、B板的中心軸線在同一水平直線上．不計電子之間的相互作用力及其所受的重力，求：
（1）要使電子都打不到熒光屏上，則A、B兩板間所加電壓U應滿足什么條件；
（2）當A、B板間所加電壓U'=50V時，電子打在熒光屏上距離中心點O多遠的范圍內．

Answer 1

電子加速過程中，根據動能定理有：
eU₁=

1

2

mv²
偏轉過程中，由牛頓第二定律有：eE=ma
而 E=

U2

d

，L=vt，y=

1

2

at²
有 y=

1

2

?

eU2

md

?（

L

v

）²=

U2L2

4U1d

要使電子都打不到屏上，應滿足U₁取最大值800V時仍有y＞0.5d
代入上式可得，U₂=

4U1dy

L2

＞

4U1d?0.5d

L2

=

4×800×0.5×0.052

0．22

V=100V
所以為使電子都打不到屏上，A、B兩板間所加電壓U₂至少為100V．
（2）當A、B板間所加電壓U′=50V時，代入
當電子恰好從A板右邊緣射出偏轉電場時，
其側移最大y_max=

1

2

d=

1

2

×0.05m=0.025m．
設電子通過電場最大的偏轉角為θ，設電子打在屏上距中心點的最大距離為Y_max，則：
tanθ=

vy

v2

=

at

v

Y_max=y_max+

b

v

v_y=y_max+

bvyt

vt

又y_max=

0+vy

2

t，vt=L
得v_yt=2y_max，聯(lián)立得Y_max=y_max+

2b

L

y_max=0.025+

2×0.1

0.2

×0.025=0.05m
由第（1）問中的y=

U2L2

4U1d

可知，在其它條件不變的情況下，U₁越大y越小，
所以當U₁=800V時，電子通過偏轉電場的側移量最小，
其最小側移量，y_min=

U2L2

4U1d

=

U′L2

4U1d

=

50×0．22

4×800×0.05

m=0.0125m
同理，電子打在屏上距中心的最小距離 Y_min=y_min+

2b

L

y_min=0.0125+

2×0.1

0.2

×0.125=0.025m
所以電子打在屏上距中心點O在0.025m～0.05m范圍內．
答：
（l）要使電子都打不到熒光屏上，則A，B兩板間所加電壓U應滿足至少為100V條件；
（2）當A、B板間所加電U′=50V時，打到熒光屏上的電子距離中心點O在0.025m～0.05m的范圍內．