Question

8．某滑雪場中游客用手推著坐在滑雪車上的小朋友一起娛樂，當加速到一定速度時游客松開手，使小朋友連同滑雪車一起以速度v₀沖上足夠長的斜坡滑道．為了研究方便，可以建立圖示的簡化模型，已知斜坡滑道與水平面夾角為θ，滑雪車與滑道間的動摩擦因數(shù)為μ，當?shù)刂亓�加速度為g，小朋友與滑雪車始終無相對運動．
（1）求小朋友與滑雪車沿斜坡滑道上滑的最大距離s；
（2）若要小朋友與滑雪車滑至最高點時能夠沿滑道返回，請分析說明μ與θ之間應滿
足的關系（設滑雪車與滑道間的最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等）；
（3）假定小朋友與滑雪車以1500J的初動能從斜坡底端O點沿斜坡向上運動，當它第一次經(jīng)過斜坡上的A點時，動能減少了900J，機械能減少了300J．為了計算小朋友與滑雪車返回斜坡底端時的動能，小明同學推斷：在上滑過程中，小朋友與滑雪車動能的減少與機械能的減少成正比．請你分析論證小明的推斷是否正確并求出小朋友與滑雪車返回斜坡底端時的動能．

Answer 1

分析 （1）在上滑過程應由牛頓第二定律求出加速度，然后由勻變速直線運動的速度位移公式可以求出位移大小．
（2）要使小朋友能沿滑到返回，小朋友沿滑到向下重力的分力應大于滑動摩擦力，據(jù)此分析答題．
（3）應由動能定理求出減少的動能，然后求出動能的減少量與機械能的減少量間的關系式，然后分析答題．

解答 解：（1）在上滑過程中，設加速度大小為a，
由牛頓第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma        ①
根據(jù)運動學公式有：2as=v₀²               ②
聯(lián)立①②式可得：$s=\frac{v_0^2}{2g（sinθ+μcosθ）}$；
（2）若要小朋友與滑雪車滑到最高點速度減為0時還能夠沿滑道返回，
必須使重力的下滑分力大于最大靜摩擦力．即：mgsinθ＞μmgcosθ，可得：μ＜tanθ．
（3）設小朋友與滑雪車的質量為m，斜面傾角為θ，O、A 兩點間的距離為x₁，
此過程中動能的減少量為△E_k，機械能的減少量為△E，由O到A的過程中，
根據(jù)動能定理得：-mg x₁sinθ-μmg x₁cosθ=-△E_k
可得：mg （sinθ+μcosθ） x₁=△E_k③
由于物體克服摩擦阻力所做的功量度物體機械能的減少，
可得：μmgx₁cosθ=△E               ④
聯(lián)立③④式可得：$\frac{△{E}_{K}}{△E}$=$\frac{sinθ+μcosθ}{μcosθ}$；
由于在這個問題中θ與μ為定值，則上滑過程中小朋友與滑雪車的動能減少與機械能的減少成正比，因此小明的推斷是正確的．
小朋友與滑雪車上滑過程中，當動能減少1500 J時，設機械能減少△E₁，則有：$\frac{900}{300}$=$\frac{1500}{△{E}_{1}}$，解得：△E₁=500J，
因為返回底端的過程中機械能還要減少500J，則整個過程中機械能減少1000J，所以物體返回斜面底端時剩余的動能為500J．
答：（1）小朋友與滑雪車沿斜坡滑道上滑的最大距離：$s=\frac{v_0^2}{2g（sinθ+μcosθ）}$；
（2）若要小朋友與滑雪車滑至最高點時能夠沿滑道返回，μ與θ之間應滿足的關系是：μ＜tanθ．
（3）小明的推斷是正確的，小朋友與滑雪車返回斜坡底端時的動能為500J．

點評 本題是一道力學綜合題，分析清楚小朋友的運動過程是解題的關鍵，應由動能定理、牛頓第二定律與運動學公式可以解題；小朋友能否返回取決于動摩擦因數(shù)與斜面傾角正切值間的關系．