Question

【題目】如圖所示，四個(gè)半徑為1，且完全相同的均質(zhì)光滑圓球，將它們擺為上下兩層且彼此相切，下層三個(gè)球、、質(zhì)量均為，放置在光滑水平面上，上層球的質(zhì)量為下邊三個(gè)球質(zhì)量之和．試

（1）若將下層三個(gè)球用一根繩子在球心高度處纏繞，把三個(gè)球捆扎在一起，再將第四個(gè)球放在上層，問(wèn)：靜止情況下張力為多大？

（2）若在圖所示的位置突然剪斷繩子，四個(gè)球由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：上下層球在什么位置處開(kāi)始脫離？

（3）問(wèn)：上層球第一次落到桌面時(shí)，下層三個(gè)球的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)后所組成等邊三角形的邊長(zhǎng)為多大？

Answer 1

【答案】（1）（2）時(shí)上下層球開(kāi)始脫離（3）

【解析】

設(shè)下層球的質(zhì)量均為，則上層球的質(zhì)量為．、、、分別為下層球和上層球的球心，為下層球心組成三角形的形心，為與的夾角，如圖所示．

（1）系統(tǒng)靜止時(shí)，由幾何關(guān)系可知，．

對(duì)上層球進(jìn)行受力分析，如圖所示，列方向平衡方程有

，． ①

圖3

對(duì)下層球進(jìn)行受力分析，如圖所示，列方向平衡方程有

，． ②

聯(lián)立式①②，可得系統(tǒng)靜止時(shí)繩子拉力為．

（2）開(kāi)始時(shí)上下層球心的連線與水平方向夾角為，剪斷繩子后在位置，設(shè)下層球心水平速度為，加速度為，上層球球心下落的速度為，加速度為．

兩球脫離前．

由系統(tǒng)的動(dòng)能定理，有．

整理可得， ③

由剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)原理，上下層球脫離前，下層任一球與上層球球心的加速度之間有如下關(guān)系：

． ④

設(shè)上層球與下層三球間的相互作用力為，對(duì)上層球分析，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

． ⑤

對(duì)下層任一球進(jìn)行分析，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有

． ⑥

由式③⑥，可得上下層球相互作用力為

． ⑦

上下層球脫離條件為，由式⑦得．

即當(dāng)時(shí)上下層球開(kāi)始脫離

（3）上下層球脫離后，上層與下層球球心的距離始終大于2，上下兩層球不再相碰，將代人式③，可以求出脫離時(shí)上層球心的速度為

． ⑧

此時(shí)，下層球的質(zhì)心速度為

． ⑨

運(yùn)動(dòng)后，下層球心到靜正時(shí)下層球心圍成的等邊三角形中心的距離為

． ⑩

上層球心到桌面間的距離為

．

由式⑧，脫離后上層球接觸桌面所需的時(shí)間為

．

由式⑨，下層球心在這段時(shí)間內(nèi)又運(yùn)動(dòng)距離為

．

由式⑩，當(dāng)上層球第一次與桌面接觸時(shí)，下層三個(gè)球的質(zhì)心所組成的等邊三角形的邊長(zhǎng)是