一個豎直放置的光滑圓環(huán),半徑為、、分別是其水平直徑和豎直直徑的端點.圓環(huán)與一個光滑斜軌相接,如圖4所示.一個小球從與點高度相等的點從斜軌上無初速下滑.試求:

小題1:過點時,對軌道的壓力多大?
小題2:小球能否過點,如能,在點對軌道壓力多大?如不能,小球于何處離開圓環(huán)?

小題1:
小題2:
故小球經(jīng)過圓環(huán)最低點時,對環(huán)的壓力為.小球到達高度為點開始脫離圓環(huán),做斜上拋運動.


小題1:小球在運動的全過程中,始終只受重力和軌道的彈力.其中,是恒力,而是大小和方向都可以變化的變力.但是,不論小球是在斜軌上下滑還是在圓環(huán)內(nèi)側(cè)滑動,每時每刻所受彈力方向都與即時速度方向垂直.因此,小球在運動的全過程中彈力不做功,只有重力做功,小球機械能守恒.
從小球到達圓環(huán)最低點開始,小球就做豎直平面圓周運動.小球做圓周運動所需的向心力總是指向環(huán)心點,此向心力由小球的重力與彈力提供.
(1)因為小球從機械能守恒,所以
     ①
          ②
    ③
解①②③得 
小題2:小球如能沿圓環(huán)內(nèi)壁滑動到點,表明小球在點仍在做圓周運動,則,可見,是恒量,隨著的減小減;當(dāng)已經(jīng)減小到零(表示小球剛能到達)點,但球與環(huán)頂已是接觸而無擠壓,處于“若即若離”狀態(tài))時,小球的速度是能過點的最小速度.如小球速度低于這個速度就不可能沿圓環(huán)到達點.這就表明小球如能到達點,其機械能至少應(yīng)是,但是小球在點出發(fā)的機械能僅有因此小球不可能到達點.
又由于,

因此,>0,小球從點時仍有沿切線向上的速度,所以小球一定是在、之間的某點離開圓環(huán)的.設(shè)半徑與豎直方向夾角,則由圖可見,小球高度
           ④
根據(jù)機械能守恒定律,小球到達點的速度應(yīng)符合:
             ⑤
小球從點開始脫離圓環(huán),所以圓環(huán)對小球已無彈力,僅由重力沿半徑方向的分力提供向心力,即
           ⑥
解④⑤⑥得 
故小球經(jīng)過圓環(huán)最低點時,對環(huán)的壓力為.小球到達高度為點開始脫離圓環(huán),做斜上拋運動.
練習(xí)冊系列答案
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A.小球的動能先增大后減小
B.小球的重力勢能逐漸減小,彈簧的彈性勢能逐漸增加
C.小球的動能一直在減小
D.小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和逐漸增加

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A.在a點時,蹦極者的動能最小
B.在b點時,彈性繩的彈性勢能最小
C.從a點運動到c點的過程中,蹦極者的動能一直在增加
D.從a點運動到c點的過程中,蹦極者的機械能不斷減小

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