Question

如圖甲所示，兩平行金屬板的板長(zhǎng)l＝0.20m，板間距d＝6.0×10^－2m，在金屬板右側(cè)有一范圍足夠大的方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界為MN，與金屬板垂直。金屬板的下極板接地，上極板的電壓u隨時(shí)間變化的圖線如圖乙所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0×10^－2T�，F(xiàn)有帶正電的粒子以v₀＝5.0×10⁵m/s的速度沿兩板間的中線OO^' 連續(xù)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)電場(chǎng)后射入磁場(chǎng)。已知帶電粒子的比荷＝10⁸C/kg，粒子的重力忽略不計(jì)，假設(shè)在粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變，不計(jì)粒子間的作用（計(jì)算中取）。


（1）求t＝0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
（2）求t＝0.30s時(shí)刻進(jìn)入的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）試證明：在以上裝置不變時(shí)，以v₀射入電場(chǎng)比荷相同的帶電粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離都相等。
 

Answer 1

（1） 1.0m       （2）2.6×10^－6s                        
 
 
（3）證明：設(shè)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r

進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)帶電粒子速度的方向與初速度的方向的夾角為α
  
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為φ＝π－2α，帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓滑所對(duì)的弦長(zhǎng)為s，

從上式可知弦長(zhǎng)s取決于磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒子的比荷及初速度，而與電場(chǎng)無(wú)關(guān)。

（1）（6分）t＝0時(shí)，u＝0，帶電粒子在極板間不偏轉(zhuǎn)，水平射入磁場(chǎng)，

  
s＝2r＝1.0m                         
（2）（8分）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中水平方向的速度
v₀＝5.0×10⁵m/s
豎直方向的速度為    
所以進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與初速度方向的夾角為α。如圖所示：
 

解得    
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為φ，即為，設(shè)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，所以    
（3）（6分）證明：設(shè)帶電粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r

進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)帶電粒子速度的方向與初速度的方向的夾角為α
  
由幾何關(guān)系可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)的圓心角為φ＝π－2α，帶電粒子在磁場(chǎng)中的圓滑所對(duì)的弦長(zhǎng)為s，

從上式可知弦長(zhǎng)s取決于磁感應(yīng)強(qiáng)度、粒子的比荷及初速度，而與電場(chǎng)無(wú)關(guān)。