Question

9．如圖所示，將一勁度系數(shù)為k的輕彈簧一端固定在內壁光滑、半徑為R的半球形容器底部O′處（O為球心），彈簧另一端與質量為m的小球A相連，小球靜止于P點，OP與水平方向間的夾角為θ=30°．若換為與質量為2m的小球B相連，小球靜止于M點（圖中未畫出），下列說法正確的是（　　）

• A． 容器對小球B的作用力大小為2mg
• B． 彈簧對小球A的作用力大于對小球B的作用力
• C． 彈簧原長為R+$\frac{mg}{k}$
• D． OM的長度為$\frac{{mgR+k{R^2}}}{2mg+kR}$

Answer 1

分析 球A壓縮彈簧時，球A受重力、支持力和彈簧的彈力，根據(jù)平衡條件列式求解彈簧彈力和支持力，根據(jù)胡克定律列式求解彈簧的原長；

解答 解：C、對質量為m的小球，受重力、支持力和彈簧的彈力而平衡，如圖所示：

根據(jù)平衡條件，有：F=N=mg；
故彈簧的原長為：l=R+$\frac{F}{k}$=R+$\frac{mg}{k}$；故C正確；
ABD、當改為質量為2m的球后，球與彈簧間的彈力變大，設OP與水平方向的夾角為α，則：

其中N′與水平方向的夾角為α，F(xiàn)′與豎直方向的夾角為β=45°+$\frac{α}{2}$；
根據(jù)平衡條件，水平方向：N′sinα+F′cos（45°+$\frac{α}{2}$），
豎直方向：N′sinα+F′sin（45°+$\frac{α}{2}$）=2mg，
根據(jù)胡克定律，有：F′=k[l-2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）]=k[R+$\frac{mg}{k}$-2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）]
聯(lián)立解得：2Rsin（45°-$\frac{α}{2}$）=$\frac{mgR+k{R}^{2}}{2mg+kR}$，N′=2mg，
故A正確，B錯誤，D正確；
故選：ACD

點評 本題是力平衡問題，關鍵是受力分析后根據(jù)平衡條件列式求解．
三力平衡的基本解題方法：①力的合成、分解法：即分析物體的受力，把某兩個力進行合成，將三力轉化為二力，構成一對平衡力，二是把重力按實際效果進行分解，將三力轉化為四力，構成兩對平衡力．②相似三角形法：利用矢量三角形與幾何三角形相似的關系，建立方程求解力的方法．應用這種方法，往往能收到簡捷的效果．