Question

20．如圖所示，一平行板電容器兩板水平相對(duì)放置，在兩板的正中心上各開一孔，孔相對(duì)極板很小，因此不會(huì)影響兩板間的電場(chǎng)分布．現(xiàn)給上下兩板分別充上等量的正負(fù)電荷，上板帶正電、下板帶負(fù)電，使兩板間形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=$\frac{3mg}{q}$．一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣輕質(zhì)硬桿上下兩端分別固定一帶電金屬小球A、B，兩球大小相等，且直徑小于電容器極板上的孔，A球帶負(fù)電Q_A=-3q，B球帶正電Q_B=+q，兩球質(zhì)量均為m．將“桿一球”裝置移動(dòng)到上極板上方，保持豎直，且使B球剛好位于上板小孔的中心處、球心與上極板在一平面內(nèi)．然后靜止釋放．己知帶電平行板電容器只在其兩板間存在電場(chǎng)，兩球在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)接觸到極板，且各自的帶電量始終不變．忽略兩球產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)平行板間勻強(qiáng)電場(chǎng)的影響，兩球可以看成質(zhì)點(diǎn)，電容器極板厚度不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）A球剛進(jìn)入兩板間時(shí)，“桿一球”裝置的速度大小v₁
（2）若以后的運(yùn)動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)B球從下極板的小孔穿出后，剛好能運(yùn)動(dòng)$\frac{L}{2}$的距離．求電容器兩極板間距d．

Answer 1

分析 （1）B球剛進(jìn)入兩板間時(shí)，對(duì)AB整體，受重力、向下的電場(chǎng)力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度大小，根據(jù)速度位移公式列式求解A球剛進(jìn)入兩板間時(shí)“桿一球”裝置的速度大小；
（2）A進(jìn)入兩板間到B即將穿出下孔過程，受重力和電場(chǎng)力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度，根據(jù)速度位移公式列式；B穿出下孔后，先根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度，再根據(jù)速度位移公式列式；最后聯(lián)立求解．

解答 解：（1）B球剛進(jìn)入兩板間時(shí)，以為AB系統(tǒng)為研究對(duì)象，有：qE+2mg=2ma，得 a=$\frac{5}{2}g$；
從開始到A剛進(jìn)入兩板間有：${v}_{1}^{2}=2aL$，得：${v}_{1}=\sqrt{5gL}$；
（2）A進(jìn)入兩板間到B即將穿出下孔，有：qE+2mg-3qE=2ma₂，得：a₂=-2g；
根據(jù)速度位移公式，有：${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{2}S$…①
B穿出下孔后，有2mg-3qE=2ma₃，得a₃=-$\frac{7}{2}g$；
根據(jù)速度位移公式，有：$0-{v}_{2}^{2}=2{a}_{3}×\frac{L}{2}$…②
聯(lián)立①②兩式得S=$\frac{3}{8}L$；
所以，兩板間距d=S+L=$\frac{11}{8}L$；
答：（1）A球剛進(jìn)入兩板間時(shí)，“桿一球”裝置的速度大小v₁為$\sqrt{5gL}$；
（2）電容器兩極板間距d為$\frac{11}{8}L$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)兩個(gè)球整體受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式求解加速度，再結(jié)合速度位移公式多次列式求解，不難．