Question

13．如圖所示，通過水平絕緣傳送帶輸送完全相同的正方形單匝銅線框，為了檢測出個別未閉合的不合格線框，讓線框隨傳送帶通過一固定勻強磁場區(qū)域（磁場方向垂直于傳送帶平面向下），觀察線框進(jìn)入磁場后是否相對傳送帶滑動就能夠檢測出未閉合的不合格線框．已知磁場邊界MN、PQ與傳送帶運動方向垂直，MN與PQ間的距離為d，磁場的磁感應(yīng)強度為B．各線框質(zhì)量均為m，電阻均為R，邊長均為L（L＜d）；傳送帶以恒定速度v₀向右運動，線框與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g．線框在進(jìn)入磁場前與傳送帶的速度相同，且右側(cè)邊平行于MN進(jìn)入磁場，當(dāng)閉合線框的右側(cè)邊經(jīng)過邊界PQ時又恰好與傳送帶的速度相同．設(shè)傳送帶足夠長，且在傳送帶上始終保持右側(cè)邊平行于磁場邊界．對于閉合線框，求：
（1）線框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場時所受安培力的大��；
（2）線框在進(jìn)入磁場的過程中運動加速度的最大值以及速度的最小值；
（3）從線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場到穿出磁場后又相對傳送帶靜止的過程中，傳送帶對該閉合銅線框做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求得，閉合銅線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場時產(chǎn)生的電動勢，根據(jù)歐姆定律求得電流，然后根據(jù)安培力的公式根據(jù)求得安培力；
（2）線框以速度v₀進(jìn)入磁場，在進(jìn)入磁場的過程中，受安培力而減速運動；進(jìn)入磁場后，在摩擦力作用下加速運動，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時速度又恰好等于v₀．因此，線框在剛進(jìn)入磁場時，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；線框全部進(jìn)入磁場的瞬間速度最小．根據(jù)牛頓第二定律與動能定理即可求得結(jié)果；
（3）線框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場到運動至磁場邊界PQ的過程中線框受摩擦力，閉合線框出磁場與進(jìn)入磁場的受力情況相同，則完全出磁場的瞬間速度為v，摩擦力做的功等于摩擦力與相對位移的乘積．

解答 解：（1）閉合銅線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場時產(chǎn)生的電動勢：E=BLv₀
產(chǎn)生的電流：I=$\frac{E}{R}$，
右側(cè)邊所受安培力：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線框以速度v₀進(jìn)入磁場，在進(jìn)入磁場的過程中，受安培力而減速運動；
進(jìn)入磁場后，在摩擦力作用下加速運動，當(dāng)其右側(cè)邊到達(dá)PQ時速度又恰好等于v₀．
因此，線框在剛進(jìn)入磁場時，所受安培力最大，加速度最大，設(shè)為a_m；
線框全部進(jìn)入磁場的瞬間速度最小，設(shè)此時線框的速度為v．
線框剛進(jìn)入磁場時，根據(jù)牛頓第二定律有F-μmg=ma_m，
解得：a_m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg，
在線框完全進(jìn)入磁場又加速運動到達(dá)邊界PQ的過程中，根據(jù)動能定理有：
μmg（d-L）=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）線框從右側(cè)邊進(jìn)入磁場到運動至磁場邊界PQ的過程中線框受摩擦力：f=μmg
由功的公式：W_f1=fd，解得：W_f1=μmgd，
閉合線框出磁場與進(jìn)入磁場的受力情況相同，則完全出磁場的瞬間速度為v；
在線框完全出磁場后到加速至與傳送帶速度相同的過程中，設(shè)其位移x
由動能定理有：μmgx=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：x=d-L，
閉合線框在右側(cè)邊出磁場到與傳送帶共速的過程中位移：x'=x+L=d，
在此過程中摩擦力做功：W_f2=μmgd，
因此，閉合銅線框從剛進(jìn)入磁場到穿出磁場后又相對傳送帶靜止的過程中，
傳送帶對閉合銅線框做的功：W=W_f1+W_f2=2μmgd；
答：（1）線框的右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場時所受安培力的大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$；
（2）線框在進(jìn)入磁場的過程中運動加速度的最大值為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{mR}$-μg，速度的最小值為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2μg（d-L）}$；
（3）從線框右側(cè)邊剛進(jìn)入磁場到穿出磁場后又相對傳送帶靜止的過程中，傳送帶對該閉合銅線框做的功為2μmgd．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的一道綜合題，分析清楚運動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚運動過程、應(yīng)用安培力公式、牛頓第二定律、動能定理、功的計算公式即可正確解題．