Question

如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相接，導(dǎo)軌半徑為R．一個質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，當(dāng)它經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動恰能完成半個圓周運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)．不計(jì)空氣阻力．
試求：
（1）當(dāng)m在A點(diǎn)時，彈簧的彈性勢能的大小；
（2）物塊m從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)克服阻力做的功的大小；
（3）如果半圓形軌道也是光滑的，其他條件不變，當(dāng)物體由A經(jīng)B運(yùn)動到C，然后落到水平面，落點(diǎn)為D（題中D點(diǎn)未標(biāo)出，且水平面足夠長），求D點(diǎn)與B點(diǎn)間距離．

Answer 1

分析：（1）研究物體經(jīng)過B點(diǎn)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律求出物體經(jīng)過B點(diǎn)的速度，得到物體的動能，物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢能等于體經(jīng)過B點(diǎn)的動能；
（2）物體恰好到達(dá)C點(diǎn)時，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度，物體從B到C的過程，運(yùn)用動能定理求解克服阻力做的功；
（3）物體離開軌道后做平拋運(yùn)動，運(yùn)用運(yùn)動的合成和分解法求出物體離開C點(diǎn)后落回水平面時的水平位移的大�。�

解答：解：（1）物塊在B點(diǎn)時，由牛頓第二定律得：FN-mg=m

v 2 B

R

  F_N=7mg
在物體從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，彈簧的彈性勢能：Ep=

1

2

m

v

2 B

聯(lián)立以上三式得：Ep=3mgR
（2）物體到達(dá)C點(diǎn)僅受重力mg，根據(jù)牛頓第二定律有mg=m

v 2 c

R

物體從B點(diǎn)到C點(diǎn)只有重力和阻力做功，根據(jù)動能定理有：W阻-mg×2R=

1

2

mvC2-

1

2

m

v

2 B

，
解得W_阻=-0.5mgR
物塊m從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)克服阻力做的功的大小為0.5mgR
（3）在物體從B點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理有：-mg×2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

，
解得    vC=

2gR

由C點(diǎn)到D點(diǎn)，物體做平拋運(yùn)動，有：
水平方向：X_BD=v_Ct
豎直方向：2R=

1

2

gt2
解得：XBD=2

2

R
答：（1）彈簧的彈性勢能的大小為3mgR；
（2）物塊m從B點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)克服阻力做的功的大小為0.5mgR；
（3）D點(diǎn)與B點(diǎn)間距離XBD=2

2

R．

點(diǎn)評：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的速度，再結(jié)合動能定理、平拋運(yùn)動的知識求解．