Question

1．電動機(jī)帶動滾輪勻速轉(zhuǎn)動，在滾輪的作用下，將金屬桿從最底端A送往傾角θ=30°的足夠長斜面上部．滾輪中心B與斜面底部A的距離為L=6.5m，當(dāng)金屬桿的下端運(yùn)動到B處時(shí)，滾輪提起，與桿脫離接觸．桿由于自身重力作用最終會返回斜面底部，與擋板相撞后，立即靜止不動．此時(shí)滾輪再次壓緊桿，又將金屬桿從最底端送往斜面上部，如此周而復(fù)始．已知滾輪邊緣線速度恒為=4m/s，滾輪對桿的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與桿間的動摩m=1×10³Kg，不計(jì)桿與斜面間的摩擦，取g=10m/s²． 求：
（1）在滾輪的作用下，桿加速上升的加速度；
（2）桿加速上升至與滾輪速度相同時(shí)前進(jìn)的距離；
（3）每個(gè)周期中滾輪對金屬桿所做的功；
（4）桿往復(fù)運(yùn)動的周期．

Answer 1

分析 （1）對桿進(jìn)行受力分析，桿在重力、支持力、滾輪壓力和摩擦力作用下產(chǎn)生加速度，求出物體所受合力，由牛頓第二定律可以得加速度a；
（2）由加速度和桿運(yùn)動的末速度、初速度，由速度位移關(guān)系公式求桿加速上升至與滾輪速度相同時(shí)前進(jìn)的距離；
（3）輪分兩個(gè)過程對桿做功，在兩個(gè)過程中根據(jù)動能定理可求出輪對桿所做的功W；
（4）把桿的運(yùn)動分成三段，一是在滑動摩擦力作用下的勻加速運(yùn)動，二是在靜摩擦力作用下的勻速運(yùn)動，三是重力沿斜面向下分力作用下的勻減速直線運(yùn)動，分三段運(yùn)動求桿運(yùn)動的時(shí)間即可．

解答 解：（1）對桿進(jìn)行受力分析：桿受重力G、斜面對桿的支持力F₁，滾輪對桿的壓力F_N和滾輪對桿沿斜面向上的摩擦力f，四個(gè)力作用．建立直角坐標(biāo)系，如圖，根據(jù)牛頓第二定律得：
μF_N-mgsinθ=ma          
代入數(shù)據(jù)解得：a=2m/s²
（2）桿加速上升至與滾輪速度相同時(shí)前進(jìn)的距離為：s=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{{4}^{2}}{2×2}$m=4m                            
（3）因?yàn)閟＜L，所以金屬桿先勻加速4米，后勻速2.5米．
對兩個(gè)過程，分別運(yùn)用動能定理得：
W₁-mgsinθs=$\frac{1}{2}$mv²             
W₂-mgsinθs′=0                    
每個(gè)周期中滾輪對金屬桿所做的功為：W=W₁+W₂．
聯(lián)立解得：W=4.05×10⁴J               
（4）勻加速運(yùn)動的時(shí)間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{4}{2}$=2s                             
勻速向上的時(shí)間為：t₂=$\frac{L-s}{v}$=$\frac{6.5-4}{4}$=0.625s                  
后向下做勻加速運(yùn)動的加速度為：a′=gsinθ          
由L=v₀t₃-$\frac{1}{2}$at²₃                   
得 t₃=2.6s　                       
所以桿往復(fù)運(yùn)動的周期 T=t₁+t₂+t₃；
解得  T=5.225s         
答：（1）在滾輪的作用下，桿加速上升的加速度是2m/s²；
（2）桿加速上升至與滾輪速度相同時(shí)前進(jìn)的距離是4m；
（3）每個(gè)周期中電動機(jī)對金屬桿所做的功是4.05×10⁴J；
（4）桿往復(fù)運(yùn)動的周期是5.225s．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵理清桿子在整個(gè)過程中的運(yùn)動情況，分析受力情況，分段結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式進(jìn)行求解．