Question

【題目】如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M＝1kg的小車(chē)靜止在地面上，小車(chē)上表面與R=0.24m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平。現(xiàn)有一質(zhì)量m＝2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0=6m/s的初速度滑上小車(chē)左端，二者共速時(shí)小車(chē)還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車(chē)與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車(chē)表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，g取10m/s2，求：

（1）滑塊與小車(chē)共速時(shí)的速度及小車(chē)的最小長(zhǎng)度；

（2）滑塊m恰好從Q點(diǎn)離開(kāi)圓弧軌道時(shí)小車(chē)的長(zhǎng)度；

（3）討論小車(chē)的長(zhǎng)度L在什么范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道？

Answer 1

【答案】（1）L1="3m(2)"（3）小車(chē)的長(zhǎng)度L在3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m范圍，滑塊能滑上P點(diǎn)且在圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離圓軌道．

【解析】

試題（1）滑塊在小車(chē)滑行過(guò)程，系統(tǒng)所受的合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出共同速度．小車(chē)的長(zhǎng)度與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能有關(guān)．當(dāng)兩者速度相同滑塊剛好滑到小車(chē)的右端時(shí)，小車(chē)的長(zhǎng)度最短，根據(jù)能量守恒求解最小長(zhǎng)度；
（2）滑塊m恰好從Q點(diǎn)離開(kāi)圓弧軌道時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度．小車(chē)粘在墻壁后，滑塊在車(chē)上滑動(dòng)，對(duì)滑塊從車(chē)上開(kāi)始滑動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得滑塊滑過(guò)的距離，由幾何關(guān)系求出小車(chē)的長(zhǎng)度；
（3）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點(diǎn)離開(kāi)軌道，也可能滑到T點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合上題的結(jié)果可求出L的范圍．

（1）由動(dòng)量守恒知，，得，設(shè)小車(chē)的最小長(zhǎng)度為

由能量守恒知，得

（2）m恰能滑過(guò)圓弧的最高點(diǎn)，

小車(chē)粘在墻壁后，滑塊在車(chē)上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q，

在這個(gè)過(guò)程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：

解得：，所以小車(chē)長(zhǎng)度

（3）由（2）可知，滑塊要想運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，小車(chē)的長(zhǎng)度L必須滿足：3m≤L≤4m

若滑塊恰好滑至圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道．

小車(chē)粘在墻壁后，滑塊在車(chē)上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)，

在這個(gè)過(guò)程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：解得

此時(shí)小車(chē)的長(zhǎng)度為，小車(chē)的長(zhǎng)度滿足：．