Question

在一個(gè)圓柱形的、豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底面都是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底。在圓柱內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動(dòng)。開始時(shí)，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖5—90所示，現(xiàn)有卷?yè)P(yáng)機(jī)通過(guò)繩子對(duì)活塞施加一個(gè)向上的力F，使活塞緩慢向上移動(dòng)。已知管筒半徑r=0.100m，井的半徑R=2r，水的密度ρ=1.00×10³kg/m³，大氣壓p₀=1.00×10⁵Pa，求活塞上升H=9.00m的過(guò)程中拉力F所做的功。（井和管在水面以上及水面以下的部分都足夠長(zhǎng)，不計(jì)活塞質(zhì)量，不計(jì)摩擦，重力加速度g取10m/s²）

Answer 1

1.65×10⁴J

解析:

題中未明確F是恒力還是變力，故首先要判斷清楚。若活塞和水面之間出現(xiàn)真空，則F是恒力。

從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為

 m=10m

的過(guò)程中，活塞始終與管內(nèi)的水接觸。設(shè)活塞上升距離為h₁，管外水面下降距離為h₂，則

h₀=h₁+h₂，

因水的體積不變，有  ，

由以上兩式得                m=7.5m。

題給H=9m＞h₁，由此可知確實(shí)有活塞下面是真空的一段過(guò)程�；钊�移動(dòng)距離從0到h₁的過(guò)程中，對(duì)于水和活塞這個(gè)整體，其機(jī)械能的增加量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功。因?yàn)槭冀K無(wú)動(dòng)能，所以機(jī)械能的增加量也就等于重力勢(shì)能的增加量，即

 。

其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力和拉力F，因?yàn)樗�不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功為                           p₀π(R²－r²)h₂－p₀πr² h₁=0，

故外力做的功就只是拉力F做的功，由功能關(guān)系知

 W₁=

  J≈1.18×10⁴J。

活塞移動(dòng)距離從h到H的過(guò)程中，水面不變，F是恒力，

F=πr²p₀，

拉力F做功

W₂=F(H－h)= πr²p₀(H－h₁) = π×0.100²×1.0×10⁵×(9.00－7.5)J≈4.71×10³J。

所以，拉力F所做的總功為

 W=W₁+W₂=1.18×10⁴J+4.71×10³J≈1.65×10⁴J。