Question

6．如圖，平行長直金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為l，一端接有阻值為R的電阻；整個導(dǎo)軌處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；一根質(zhì)量為m的金屬桿置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直并接觸良好．已知金屬桿在導(dǎo)軌上開始運(yùn)動的初速度大小為v₀，方向平行于導(dǎo)軌．忽略金屬桿與導(dǎo)軌的電阻，不計(jì)摩擦．證明金屬桿運(yùn)動到總路程的λ（0≤λ≤1）倍時，安培力的瞬時功率為P=$\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．

Answer 1

分析 金屬棒運(yùn)動切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，回路中有感應(yīng)電流，感應(yīng)電流在磁場中受到安培力的作用，取極短的時間運(yùn)用動量定理列式，運(yùn)用微元法證明．

解答 證明：設(shè)運(yùn)動過程中任意時刻的速度為v，運(yùn)動的總位移為x，則E=Blv，而$i=\frac{E}{R}$，則金屬棒受到的安培力$F=Bil=\frac{{{B^2}{l^2}v}}{R}$
在極端的時間△t內(nèi)，由動量定理得-F•△t=m•△v
即$-\frac{{{B^2}{l^2}v△t}}{R}=m△v$，對全過程累加得$-\frac{{{B^2}{l^2}x}}{R}=m{v_0}$
當(dāng)x'=λx時，$v={v_0}-\frac{{{B^2}{l^2}λx}}{mR}$，即v=（1-λ）v₀
此時安培力$F'=\frac{{（1-λ）{B^2}{l^2}{v_0}}}{R}$，瞬時功率$P=F'v=\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．
所以金屬桿運(yùn)動到總路程的λ（0≤λ≤1）倍時，安培力的瞬時功率為P=$\frac{{{{（1-λ）}^2}{B^2}{l^2}v_0^2}}{R}$．

點(diǎn)評 此題涉及微元法的應(yīng)用，微元法在自主招生考試中經(jīng)常出現(xiàn)，值得引起高度重視．同時，應(yīng)用動量定理解決安培力的相關(guān)問題，在華約自主招生中經(jīng)常出現(xiàn)，最近的是2011年華約自主招生物理試題第7題，詳見參考文獻(xiàn)．