Question

13．如圖所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽NM，弧的半徑是R，所對圓心角很小，現(xiàn)在圓弧的右側(cè)邊緣M處放一個小球A，使其由靜止下滑，則：
①小球由M至O的過程中所需時間t為多少？在此過程中能量如何轉(zhuǎn)化（定性說明）？
②若在MN圓弧上存在兩點(diǎn)P、Q，且P、Q關(guān)于O對稱，且已測得小球A由P直達(dá)Q所需時間為△t，則小球由Q至N的最短時間為多少？

Answer 1

分析 由題意知，光滑圓弧形槽弧的半徑是R，所對圓心角很小，小球A在MN兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動，類似于擺長為R的單擺，小球A從M到O的時間為$\frac{1}{4}$周期，周期T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由A→O的過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能；
小球A在PQ兩點(diǎn)間做簡諧運(yùn)動，類似于擺長為R的單擺，P、Q關(guān)于O對稱，從Q到O的時間為$\frac{△t}{2}$．

解答 解：①由單擺周期公式知球A的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，則有：t_MO=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由M→O的過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能；
②A做簡諧運(yùn)動，周期為：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
則球由Q至N的最短時間為：t_min=$\frac{1}{4}$T-$\frac{△t}{2}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．
答：①小球由M至O的過程中所需時間為$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在此過程中球A的重力勢能轉(zhuǎn)化為動能；
②小球由Q至N的最短時間為$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．

點(diǎn)評 光滑圓弧形槽所對圓心角小于10°時類似單擺，做簡諧運(yùn)動，等效擺長等于半徑，具有周期性，注意對稱性的運(yùn)用．