Question

兩個(gè)質(zhì)量分別為m₁和m₂的重物掛在細(xì)繩的兩端（m₁＞m₂），繩子繞過一個(gè)半徑為r的滑輪，在滑輪的軸上固定了四個(gè)長為L（即球心到軸心的距離為L）分布均勻的輕輻條，輻條的端點(diǎn)固定有質(zhì)量為m的A、B、C、D四個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的小球．重物從圖示位置釋放后由靜止開始作勻加速運(yùn)動(dòng)．已知軸的摩擦力、線及滑輪的質(zhì)量忽略不計(jì)，線與滑輪間不發(fā)生滑動(dòng)．試求：
（1）當(dāng)重物m₁下落速度為v₀時(shí)，鐵球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v多大？
（2）m₁下落的加速度a．

Answer 1

分析：（1）重球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，根據(jù)ω=

v

r

列式即可求解鐵球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度；
（2）設(shè)m₁下落和加速度為a，求出下落時(shí)間為t時(shí)，m₁、m₂的速率，由機(jī)械能守恒可知，m₁、m₂減少的重力勢(shì)能等于6個(gè)物體動(dòng)能的增加量，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式即可求解．

解答：解：（1）由題知，重球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，設(shè)重球A、B、C、D的線速度為v，則有：

v

L

=

v0

r

，得：v=

L

r

v0…①
（2）設(shè)m₁下落和加速度為a，則下落時(shí)間t時(shí)，m₁、m₂的速率為：
v₁=v₂=at…②
所以重球的線速度為v=

L

r

at…③
m₁下落的距離為h=

1

2

at2…④
由機(jī)械能守恒可知，m₁、m₂減少的重力勢(shì)能等于6個(gè)物體動(dòng)能的增加量，
故有：

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 1

+

1

2

m

v

2

×4=m₁gh-m₂gh
即：

1

2

m1(at)2×2+

1

2

m(

L

r

at

)

2

×4=（m₁-m₂）g×

1

2

at2…⑤
由①②③④⑤得：a=

(m1-m2)g

m1+m2+ 4mL2 r2

答：（1）當(dāng)重物m₁下落速度為v₀時(shí)，鐵球轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度v為

L

r

v0；
（2）m₁下落的加速度a為

(m1-m2)g

m1+m2+ 4mL2 r2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了機(jī)械能守恒定律及角速度與線速度關(guān)系的直接應(yīng)用，知道球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相同，難度適中．