【題目】如圖所示,光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道,在離B距離為x的A點,用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點從靜止開始推到B處后撤去恒力,質(zhì)點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點:

(1)求推力對小球所做的功.

(2)x取何值時,完成上述運動所做的功最少?最小功為多少.

(3)x取何值時,完成上述運動用力最?最小力為多少.

【答案】(1)推力對小球所做的功是

(2)x等于2R時,完成上述運動所做的功最少,最小功為mgR.

(3)x取4R時,完成上述運動用力最小,最小力為mg

【解析】

試題分析:(1)小球在恒定推力作用下,在光滑水平面做勻加速直線,當(dāng)?shù)竭_B點撤去恒力,讓其在沿光滑半圓軌道運動到C處后,又正好落回A點.因小球離開C點后做平拋運動,已知高度與水平位移的情況下,可求出小球在C處的速度大小,選取從A到C過程,由動能定理可求出推力對小球所做的功.

(2)力F做功越小,小球到達B點的速度越小,到達最高點C的速度越小,當(dāng)小球恰好到達C點時,由重力充當(dāng)向心力,此時C點的速度最小,力F做功最小.先由牛頓第二定律求出小球通過C點的最小速度,根據(jù)(1)問的結(jié)果求出x,即可得到最小功;

(3)根據(jù)功與x的關(guān)系式,運用數(shù)學(xué)知識求解力最小時x的值及最小的力.

解:(1)由題意,質(zhì)點從半圓弧軌道做平拋運動又回到A點,設(shè)質(zhì)點在C點的速度為vC,質(zhì)點從C點運動到A點所用的時間為t,則

在水平方向:x=vCt ①

豎直方向上:2R=gt2

解①②有 vC=

對質(zhì)點從A到C,由動能定理有

WF﹣mg2R=m

解得 WF=

(2)要使F力做功最少,確定x的取值,由④式得 WF=mg2R+m,則知,只要質(zhì)點在C點速度最小,則功WF就最。

若質(zhì)點恰好能通過C點,其在C點最小速度為v,

由牛頓第二定律有

mg=,則 v=

由③⑥有=,解得x=2R時,WF最小,最小的功WF=mg2R+m=mgR.

(3)由⑤式WF=mg(),W=Fx

則得 F=mg(

>0,x>0,

由極值不等式有

當(dāng)=時,即x=4R時,+=8,最小的力F=mg.

答:(1)推力對小球所做的功是

(2)x等于2R時,完成上述運動所做的功最少,最小功為mgR.

(3)x取4R時,完成上述運動用力最小,最小力為mg.

練習(xí)冊系列答案
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