Question

真空中均勻帶電金屬球殼D，半徑為R，如圖所示．一質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子繞球殼運動，運動軌跡為一橢圓，運動周期為T，“近地點”A恰好在球殼表面附近，“遠(yuǎn)地點”B到球面的距離為d．帶電粒子的運動不影響球殼表面的電荷分布，靜電力常量為k，不計萬有引力．求：
（1）球殼的帶電量Q；
（2）帶電粒子在球殼表面的速度多大時能飛出球殼的電場？
（3）帶電粒子在球殼表面時具有的電勢能．（設(shè)帶電粒子在離球殼無限遠(yuǎn)處電勢能為0）
 

Answer 1

（1）設(shè)帶電粒子在球殼表面做勻速圓周運動的周期為T0，球殼對帶電粒子的庫侖力提供向心力，有：k Qq R2 =m（ 2π T0 ）2R …①； 橢圓軌跡的半長軸為R+ d 2 ，根據(jù)開普勒第三定律有： T 20 T2 = R3 (R+ d 2 )3 …②； 聯(lián)立①②得：Q= mπ2(2R+d)3 2kqT2 …③； 因帶電粒子帶正電，故球殼帶負(fù)電：Q′=- mπ2(2R+d)3 2kqT2 ； （2）帶電粒子的“第一宇宙速度”：υ1= 2πR T0 …④； 帶電粒子若能飛出球殼的電場，在球殼表面的速度（“第二宇宙速度”）應(yīng)為：υ2= 2 υ1…⑤； 聯(lián)立②④⑤得：υ2= π T (2R+d)3 R …⑥； （3）設(shè)帶電粒子在球殼表面時具有的電勢能為EP，帶電粒子在電場中運動時，動能與電勢能的總和保持不變． 取帶電粒子剛好能飛出球殼的電場的情況研究． 則：帶電粒子在球殼表面時具有的總能量：E1=EP+ 1 2 mυ22…⑦； 帶電粒子剛好飛出球殼的電場時的動能為零，依題意，帶電粒子飛出球殼的電場時電勢能為零． 則帶電粒子飛出電場時的總能量：E2=0…⑧； 依據(jù)能量守恒有：E1=E2…⑨； 聯(lián)立⑥⑦⑧⑨解得：EP=- mπ2(2R+d)3 2RT2 ； 答：（1）球殼的帶電量- mπ2(2R+d)3 2kqT2 ； （2）帶電粒子在球殼表面的速度υ2= π T (2R+d)3 R 時能飛出球殼的電場； （3）帶電粒子在球殼表面時具有的電勢能- mπ2(2R+d)3 2RT2 ．