Question

14．在豎直平面內(nèi)的直角坐標(biāo)系xOy，x軸沿水平方向，如圖甲所示，第二象限內(nèi)有一水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E₁，坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有一正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)交變磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上，場(chǎng)強(qiáng)E₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直紙面，一個(gè)質(zhì)重m=0.01g、帶電荷量9=+1.0×10^-3C的微粒以v₀=4m/s的速度垂直x軸從A點(diǎn)豎直向上射入第二象限，隨后又以v₁=8m/s的速度從+y軸上的C點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入第一象限，取微粒剛進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為0時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化（以垂直紙面向外的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向），重力加速度月�?0m/s²．求：
（1）A點(diǎn)和C點(diǎn)的坐標(biāo)值；
（2）要使帶電微粒通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，求交變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積B₀T₀應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）若在+x軸上取一點(diǎn)D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在滿足第（2）問的條件下，要使微粒沿x正方向通過D點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值及磁場(chǎng)的變化周期T₀的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，針對(duì)每個(gè)方向的分運(yùn)動(dòng)運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解；
（2）找到不越過y軸的臨界情況，畫出過程圖，根據(jù)幾何知識(shí)知轉(zhuǎn)過的圓心角，再根據(jù)周期和角度關(guān)系列式求解；
（3）要使微粒沿x正方向通過D點(diǎn)，作出粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑大小，結(jié)合幾何關(guān)系，求出磁感應(yīng)度的通項(xiàng)表達(dá)式，再根據(jù)周期的關(guān)系求出磁場(chǎng)的變化周期T₀的通項(xiàng)表達(dá)式，最后分析通項(xiàng)表達(dá)式找出B₀與T₀的最值情況．

解答 解：（1）在第二象限內(nèi)，帶電粒子受豎直向下的重力mg和水平向右的電場(chǎng)力qE₁作用，
在豎直方向上有：t=$\frac{{v}_{0}}{g}$，h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
在水平方向上有：x=$\frac{{v}_{1}}{2}$t
解得：h=0.8m，x=1.6m
即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1.6，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0.8）
（2）由第（1）問可知：qE₁=2mg，又因?yàn)镋₂=$\frac{{E}_{1}}{2}$，解得：qE₂=mg，且方向相反，二力恰好平衡，所以帶點(diǎn)微粒在第一象限內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
當(dāng)交變磁場(chǎng)周期取最大值而微粒不再越過y軸時(shí)，其他情況均不會(huì)再越過，此時(shí)運(yùn)動(dòng)情景如圖所示

由圖可知：θ=$\frac{5}{6}$π，即交變磁場(chǎng)的變化周期T₀需滿足T₀≤$\frac{5}{6}T$
根據(jù)向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)周期公式有：T=$\frac{2πR}{{v}_{1}}$
解得：B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
（3）要使微粒從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其軌跡示意圖如圖所示：

由于OD=$\sqrt{3}$OC，則有：α=60°
根據(jù)向心力公式有：qv₁B₀=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由圖中幾何關(guān)系有：h=R，隨著磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化，微�？梢灾貜�(fù)多次上述運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)
所以有：h=nR（其中n=1，2，3…）
解得：B₀=0.1n（其中n=1，2，3…）
根據(jù)第（2）問求解可知，微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
又因?yàn)?\frac{{T}_{0}}{2}$=$\frac{T}{6}$
解得：T₀=$\frac{π}{15n}$（其中n=1，2，3…）
分析可知，當(dāng)n=1時(shí)，B₀達(dá)到最小值為0.1T，T₀達(dá)到最大值為$\frac{π}{15}$s．
答：（1）A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1.6，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0.8）；
      （2）要使帶電微粒通過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中不再越過y軸，交變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和變化周期T₀的乘積應(yīng)滿足B₀T₀≤$\frac{π}{60}$kg/C
      （3）若在+x軸上取一點(diǎn)D，使OD=$\sqrt{3}$OC，在滿足第（2）問的條件下，要使微粒沿x正方向通過D點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值為0.1T，磁場(chǎng)的變化周期T₀的最大值為$\frac{π}{15}$s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)（電場(chǎng)與重力場(chǎng)）中運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析受力，確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況是解題的基礎(chǔ)．結(jié)合粒子運(yùn)動(dòng)的周期性以及臨界狀態(tài)，運(yùn)用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)綜合求解；解題時(shí)要作出準(zhǔn)確規(guī)范的運(yùn)動(dòng)過程圖，以便更快地找到幾何關(guān)系．