Question

從地球表面向火星發(fā)射火星探測器。設地球和火星都在同一平面上繞太陽做勻速圓周運動。火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.5倍。簡單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠的動能，成為一個繞地球運行的人造衛(wèi)星；第二步，在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機。在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度數值增加到適當值，使探測器沿半個橢圓軌道（該橢圓長軸兩端分別與地球公轉軌道及火星公轉軌道相切）射到火星上。如圖(a)所示。已知地球半徑，重力加速度g=10m/s²。

（1）為使探測器成為繞地球運行的人造衛(wèi)星，探測器在地面附近至少要獲得多大的速度(不考慮地球自轉)。
（2）求火星探測器的飛行時間為多少天（已知，1年為365天）。
（3）當探測器繞地球運行穩(wěn)定后，在某年 3月 1 日零時測得探測器與火星之間的角度為 60°，如圖(b)所示。求應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發(fā)動機方能使探測器恰好落在火星表面(時間計算僅需精確到天，已知，1年為365天)。

Answer 1

（1）（2）（3）即同年的 4月11日

（1）         
（2）探測器和地球都圍繞太陽運動，設探測器的周期為t，地球周期為T₀。依據開普勒第三定律有：
      探測器的飛行時間
（3）)為使探測器沿橢圓軌道到達與火星軌道的相切點時，火星恰好運行到這一點，必須選擇適當時機點燃火箭發(fā)動機。
地球公轉的運動周期
地球公轉的角速度      
火星公轉周期
火星公轉角速度
探測器從點燃火箭發(fā)動機至到達火星所需時間為
探測器運行至火星的251天內，火星運行的角度為
為了使探測器到達火星軌道時，正好射到火星上，那么探測器在橢圓軌道近日點點燃火箭發(fā)動機時，火星應在其遠日點的切點之前137.5°處，即探測器點燃發(fā)動機時，與火星的角度應為180°-137.5°=42.5°
但是，已知某年3月1日零時探測器與火星的角距離為 60°(火星在前，探測器在后)，為使其角度成為 42.5°，必須等待一段時間，設為t天，使二者達到角距離42.5°的合適位置。t 滿足


因此點燃火箭發(fā)動機的時刻應為當年的 3月1日之后42天，即同年的 4月11日
本題考查圓周運動的規(guī)律和萬有引力定律的應用，可以根據開普勒第三定律求解第二問，借助幾何關系求解第三問