Question

6．aa′、bb′、cc′為足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分界線，相鄰兩分界線間距均為d，磁場(chǎng)方向如圖所示，Ⅰ、Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和2B，邊界aa′上有一粒子源P，平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射速率為$\frac{2Bqd}{m}$的帶正電粒子，Q為邊界bb′上一點(diǎn)，PQ連線與磁場(chǎng)邊界垂直，已知粒子質(zhì)量m，電量為q，不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用力，求：
（1）沿PQ方向發(fā)射的粒子飛出Ⅰ區(qū)時(shí)經(jīng)過(guò)bb′的位置；
（2）粒子第一次通過(guò)邊界bb′的位置范圍；
（3）進(jìn)入Ⅱ區(qū)的粒子第一次在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間和最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）由洛侖茲力提供向心力和題設(shè)條件求得半徑，圓心在P點(diǎn)正下方，由由幾何關(guān)系就能求出沿水平方向射出后向下偏離的距離．
（2）由于粒子的速度方向不定，但半徑一定．根據(jù)粒子旋轉(zhuǎn)的方向（在Ⅰ區(qū)順時(shí)針，在Ⅱ區(qū)逆時(shí)針）先確定向上打到的最高點(diǎn)，即沿著豎直向上方向射出的粒子，據(jù)此由幾何關(guān)系求出最高點(diǎn)偏離P點(diǎn)的距離；再確定最低點(diǎn)，顯然當(dāng)軌跡與bb′相切時(shí)，該點(diǎn)為最低點(diǎn)．
（3）要使粒子在Ⅱ區(qū)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)和最短，則要求在該區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的弦長(zhǎng)最長(zhǎng)和最短，由磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系求出在該區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．從而求出最長(zhǎng)和最短的時(shí)間．

解答 解：（1）由洛倫茲力充當(dāng)向心力得：
   $qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$             
   $R=\frac{mv}{qB}$               
  把$v=\frac{2Bqd}{m}$代入得r₁=2d
  如圖所示可得：
   $sinθ=\fracrbrj9r9{2d}=\frac{1}{2}$
   θ=30°
   $PM=QN=2d-2dcosθ=（2-\sqrt{3}）d$          
  所以，經(jīng)過(guò)bb′的位置為Q下方$（2-\sqrt{3}）d$
（2）當(dāng)正電粒子速度豎直向上進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ，距離Q點(diǎn)上方最遠(yuǎn)：
  由幾何關(guān)系得：$cos{α}_{1}=\fraclxj9drf{2d}=\frac{1}{2}$
   α₁=60°
  $Q{H}_{1}=2dsin{α}_{1}=\sqrt{3}d$      
  當(dāng)正電粒子進(jìn)入后與bb′相切時(shí)，距離Q點(diǎn)下方最遠(yuǎn)：
  由幾何關(guān)系得：$cos{α}_{2}=\fracp9tnb59{2d}=\frac{1}{2}$
  α₂=60°
  $Q{H}_{2}=2dsin{α}_{2}=\sqrt{3}d$         
  所以有粒子通過(guò)的范圍長(zhǎng)度為$L=2\sqrt{3}d$
（3）同理：在磁場(chǎng)Ⅱ中的半徑：${r}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}=d$        
 周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{πm}{qB}$           
  軌跡圓所對(duì)應(yīng)的弦越長(zhǎng)，在磁場(chǎng)Ⅱ中的時(shí)間越長(zhǎng)．
  當(dāng)軌跡圓的弦長(zhǎng)為直徑時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最長(zhǎng)為：
  ${t}_{max}=\frac{T}{2}=\frac{πm}{2qB}$          
  當(dāng)軌跡圓的弦長(zhǎng)為磁場(chǎng)Ⅱ的寬度時(shí)，從ccˊ飛出所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短為：
   ${t}_{min}=\frac{T}{6}=\frac{πm}{6qB}$
  從bbˊ飛出所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短為${t_{min}}=\frac{T}{3}=\frac{πm}{3qB}$
  所以：最短時(shí)間為${t_{min}}=\frac{πm}{6qB}$
答：（1）沿PQ方向發(fā)射的粒子飛出Ⅰ區(qū)時(shí)經(jīng)過(guò)bb′的位置為Q下方$（2-\sqrt{3}）d$．
（2）粒子第一次通過(guò)邊界bb′的位置范圍為$2\sqrt{3}d$．
（3）進(jìn)入Ⅱ區(qū)的粒子第一次在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}$、最短時(shí)間為$\frac{πm}{6qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第二、三問(wèn)：①粒子的速度大小一定，但方向不同，在考慮打在bb′最高和最低位置時(shí)，先要確定粒子旋轉(zhuǎn)的方向，還需比較半徑與寬度的關(guān)系，才能找到正確答案，再由幾何關(guān)系求出打在bb′上的范圍．②由于在Ⅱ區(qū)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，求最長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，也要先確定粒子的旋轉(zhuǎn)方向、寬度與半徑的關(guān)系：當(dāng)軌跡圓的弦長(zhǎng)為直徑時(shí)，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最長(zhǎng)； 當(dāng)軌跡圓的弦長(zhǎng)為磁場(chǎng)Ⅱ的寬度時(shí)，從ccˊ飛出所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短．