Question

長為L的輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球．把球拉至最高點(diǎn)A，以v₀=

gL 2

的水平速度推出，如圖所示，求小球經(jīng)過最低點(diǎn)C時繩的拉力．

Answer 1

分析：求出小球在最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動的最小速度，若初速度大于最小速度，小球做圓周運(yùn)動，若初速度小于最小速度，小球先做平拋運(yùn)動，然后做圓周運(yùn)動，在平拋運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)閳A周運(yùn)動的過程有能量損失．然后根據(jù)動能定理或機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子的拉力．

解答：解：根據(jù)mg=m

vmin2

L

，則在最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動的最小速度vmin=

gL

v₀＜v_min，所以小球先做平拋運(yùn)動，繩子拉直后做圓周運(yùn)動．
設(shè)小球做平拋運(yùn)動水平位移為x時，繩子拉直．
則平拋運(yùn)動的時間t=

x

v0

，平拋運(yùn)動的豎直位移y=

1

2

gt2=

1

2

g

x2

v02

根據(jù)勾股定理，有x²+（L-y）²=L²，
將v₀=

gL 2

代入代入，
解得x=L．
知平拋運(yùn)動的末位置正好與圓心在同一水平線上．
此時豎直分速度vy=

2gL

水平分速度不變，將水平分速度和豎直分速度沿半徑方向和垂直于半徑方向分解，
由于繩子繃緊，沿半徑方向的速度立即消失，只剩下垂直于半徑方向的速度，
此時的速度v=vy=

2gL

根據(jù)動能定理得，mgL=

1

2

mv′2-

1

2

mv2解得v′²=4gL
根據(jù)牛頓第二定律得，F(xiàn)-mg=m

v′2

L

解得F=5mg．
答：小球經(jīng)過最低點(diǎn)C時繩的拉力為5mg．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵確定小球的運(yùn)動情況，知道若初速度大于最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動的最小速度，小球做圓周運(yùn)動，若初速度小于最高點(diǎn)做圓周運(yùn)動的最小速度，小球先做平拋運(yùn)動，然后做圓周運(yùn)動，在平拋運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)閳A周運(yùn)動的過程有能量損失．