Question

14．如圖所示，光滑絕緣斜面的坡度為30°，其下端與半徑為R的光滑絕緣半圓軌道平滑連接．現(xiàn)在使一帶正電且質(zhì)量為m的小球從斜面上的A點(diǎn)由靜止釋放，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)．已知空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，它對(duì)小球的電場(chǎng)力為其重力的一半．試求：
（1）若小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，則釋放點(diǎn)離地面的高度至少為多少？
（2）若小球釋放點(diǎn)離地高度為4R，則此后小球?qū)�軌道的最大壓力為多少�?br />（3）若小球從圓軌最高點(diǎn)飛出后恰能垂直地打在斜面上，則釋放點(diǎn)離地面的高度應(yīng)為多少？

Answer 1

分析 （1）小球剛好能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由重力和電場(chǎng)力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理即可求得釋放點(diǎn)離地面的高度；
（2）小球能到達(dá)圓軌道的最低點(diǎn)時(shí)速度最大，小球?qū)�軌道的壓力最大，由�?dòng)能定理和牛頓第二定律結(jié)合解答．
（3）小球從圓軌最高點(diǎn)飛出后做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂直地打在斜面上時(shí)速度方向，由運(yùn)動(dòng)的分解法求出小球通過(guò)圓軌最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求釋放點(diǎn)離地面的高度．

解答 解：（1）若小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，其速度v滿足：
mg-qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
又 qE=$\frac{1}{2}$mg
得：v=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
從釋放到過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
（mg-qE）（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
解得：h=2.5R
（2）小球能到達(dá)圓軌道的最低點(diǎn)時(shí)速度最大，小球?qū)�軌道的壓力最大．從釋放到最低點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
（mg-qE）H=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
N-mg+qE=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：N=$\frac{9}{2}$mg
由牛頓第三定律得小球?qū)�軌道的最大壓力為：N′=N=$\frac{9}{2}$mg
（3）設(shè)小球從圓軌最高點(diǎn)飛出后恰能垂直地打在斜面上時(shí)，通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的速度大小為v₂．類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，加速度為a．斜面的傾角為α．
根據(jù)牛頓第二定律得 mg-qE=ma，得：a=$\frac{1}{2}g$
由題意知，小球垂直地打在斜面上時(shí)速度與豎直方向的夾角為：θ=α=30°
則有  tanθ=$\frac{{v}_{2}}{at}$
水平方向有 x=v₂t
豎直方向有 h′=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何關(guān)系可得：tanα=$\frac{2R-h′}{x}$
聯(lián)立解得 v₂=$\sqrt{\frac{2}{5}gR}$
從釋放到過(guò)圓軌道最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
（mg-qE）（H-2R）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-0
解得 H=2.4R
答：（1）若小球能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，則釋放點(diǎn)離地面的高度至少為2.5R．
（2）若小球釋放點(diǎn)離地高度為4R，則此后小球?qū)�軌道的最大壓力�?\frac{9}{2}$mg．
（3）若小球從圓軌最高點(diǎn)飛出后恰能垂直地打在斜面上，則釋放點(diǎn)離地面的高度應(yīng)為2.4R．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力、類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)與動(dòng)能定理等知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要抓住物塊恰能通過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)．