Question

14．如圖所示，兩根等高光滑的$\frac{1}{4}$圓弧軌道，半徑為r、間距為L，軌道電阻不計．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻不計的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開始下滑，到達(dá)軌道底端cd時受到軌道的支持力為2mg．整個過程中金屬棒與導(dǎo)軌電接觸良好，求：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時的速度大小和通過電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱和通過R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動到達(dá)ab
①請寫出桿在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的瞬時感應(yīng)電動勢隨時間t的變化關(guān)系？
②在桿到達(dá)ab的過程中拉力做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）金屬棒在cd端時由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出棒到達(dá)最低點(diǎn)時的速度．由E=BLv求出感應(yīng)電動勢，再由歐姆定律求通過R的電流．
（2）根據(jù)能量守恒定律求回路中產(chǎn)生的焦耳熱．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式推導(dǎo)出電量表達(dá)式q=$\frac{△Φ}{R}$，來求通過R的電荷量．
（3）①棒沿軌道做勻速圓周運(yùn)動，求出金屬棒在運(yùn)動過程中水平方向的分速度v_x，再由E=BLv_x求瞬時感應(yīng)電動勢．
②金屬棒切割磁感線產(chǎn)生余弦交變電，求感應(yīng)電動勢的有效值，再由功能關(guān)系求拉力做的功．

解答 解：（1）棒在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得
  N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
由題得 N=2mg
可得 v=$\sqrt{gr}$
棒經(jīng)過最低點(diǎn)時產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E=BLv=BL$\sqrt{gr}$
通過電阻R的電流 I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL}{R}$$\sqrt{gr}$
（2）整個過程中系統(tǒng)能量守恒得：
回路中產(chǎn)生的焦耳熱 Q=mgr-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}$mgr
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：
  $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
感應(yīng)電流的平均值 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
通過R的電荷量 q=$\overline{I}$△t
聯(lián)立得 q=$\frac{△Φ}{R}$
又△Φ=BLr
所以可得 q=$\frac{BLr}{R}$
（3）①金屬棒在運(yùn)動過程中水平方向的分速度 v_x=v₀cosωt
又 v₀=ωr
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的余弦交變電：e=BLv_x=BLv₀cos$\frac{{v}_{0}t}{r}$
②四分之一周期內(nèi)，電流的有效值：I=$\frac{BL{v}_{0}}{\sqrt{2}R}$
由能量守恒得：拉力做的功 W=mgr+Q
由焦耳定律得 Q=I²R$\frac{T}{4}$
T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
解得：W=mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$
答：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時的速度大小是$\sqrt{gr}$，通過電阻R的電流是$\frac{BL}{R}$$\sqrt{gr}$．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{1}{2}$mgr，通過R的電荷量是$\frac{BLr}{R}$．
（3）①桿在運(yùn)動過程中產(chǎn)生的瞬時感應(yīng)電動勢隨時間t的變化關(guān)系是e=BLv₀cos$\frac{{v}_{0}t}{r}$．
②在桿到達(dá)ab的過程中拉力做的功為mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的，熟練推導(dǎo)出感應(yīng)電荷量經(jīng)驗公式q=$\frac{△Φ}{R}$，要注意R是回路中總的電阻．