Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外、大小可調(diào)節(jié)的均勻磁場(chǎng)．質(zhì)量為m、電量為+q的粒子可在環(huán)中做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)．A、B為兩塊中心開有小孔的極板．原來電勢(shì)都為零，每當(dāng)粒子經(jīng)過A板時(shí)，A板電勢(shì)升高為+U，B板電勢(shì)仍保持為零，粒子在兩板間電場(chǎng)中得到加速．每當(dāng)粒子離開B板時(shí)，A板的電勢(shì)又降為零，粒子在電場(chǎng)一次次加速下動(dòng)能不斷增大，而繞行的半徑不變．（設(shè)極板間距遠(yuǎn)小于R）
（1）設(shè)t=0時(shí)粒子靜止在A板小孔處，經(jīng)電場(chǎng)加速后，離開B板在環(huán)開磁場(chǎng)中繞行，求粒子繞行第1圈時(shí)的速度v₁和磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，求粒子繞行n圈所需的總時(shí)間t；
（3）在粒子繞行的整個(gè)過程中，A板電勢(shì)是否可以始終保持為+U？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，即可求出加速的速度，再由牛頓第二定律，洛倫茲力提供向心力，即可求解；
（2）通過運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，分別求出經(jīng)過第1圈的速度及時(shí)間，第2圈的速度與時(shí)間，及到第n圈的速度與時(shí)間，從而求出總時(shí)間；
（3）電場(chǎng)力對(duì)粒子做功，而洛倫茲力對(duì)粒子不做功，所以根據(jù)電場(chǎng)力做功之和來確定結(jié)果．

解答：解：（1）粒子繞行第一圈電場(chǎng)做功一次，
由動(dòng)能定理：qU=

1

2

m

v

2 1

即第1次回到B板時(shí)的速度為：v1=

2qU m

 
繞行第1圈的過程中，由牛頓第二定律：qB1v1=m

v 2 1

R

  得B1=

1

R

2Um q

（2）粒子在每一圈的運(yùn)動(dòng)過程中，包括在AB板間加速過程和在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)過程．
在AB板間經(jīng)歷n次加速過程中，因?yàn)殡妶?chǎng)力大小相同，
故有：t1=

s

v1

  tn=

s

vn

  t_總=t₁+t₂+t₃+…+t_n 

由于每一圈速度不同，所以每一圈所需時(shí)間也不同．
由第一問題計(jì)算可知，第1圈：v1=

2qU m

．
第2圈：v2=

2×2qU m

  
第n圈：.…vn=

2nqU m

則：第1圈：t1=2πR

m 2qU

  
第2圈：t2=2πR

m 2×2qU

  
第n圈：…tn=2πR

m 2nqU

 綜上：繞行n圈過程中在磁場(chǎng)里運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t總=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

)

（3）不可以，因?yàn)檫@樣粒子在A、B之間飛行時(shí)電場(chǎng)力做功qU使之加速，在A、B之外飛行時(shí)，電場(chǎng)又對(duì)其做功-qU使之減速，粒子繞行一圈，電場(chǎng)對(duì)其做的總功為零，能量不會(huì)增大．
答：（1）設(shè)t=0時(shí)粒子靜止在A板小孔處，經(jīng)電場(chǎng)加速后，離開B板在環(huán)開磁場(chǎng)中繞行，則粒子繞行第1圈時(shí)的速度：v1=

2qU m

 和磁感應(yīng)強(qiáng)度B1=

1

R

2Um q

；
（2）為使粒子始終保持在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)必須周期性遞增，則粒子繞行n圈所需的總時(shí)間間t總=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

)；
（3）不可以，因?yàn)檫@樣粒子在A、B之間飛行時(shí)電場(chǎng)力做功qU使之加速，在A、B之外飛行時(shí)，電場(chǎng)又對(duì)其做功-qU使之減速，粒子繞行一圈，電場(chǎng)對(duì)其做的總功為零，能量不會(huì)增大．

點(diǎn)評(píng)：考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律的理解與應(yīng)用，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來計(jì)算運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度，并分別圈數(shù)來確定，同時(shí)掌握電場(chǎng)力做功與洛倫茲力不做功的區(qū)別．