Question

14．我國早在戰(zhàn)國時(shí)期的著作《墨經(jīng)》中就有關(guān)于滑輪的記載，展示了中華民族的智慧．如圖所示，可看作質(zhì)點(diǎn)的物塊A、B、C用細(xì)線通過可以不計(jì)質(zhì)量的輕滑輪連接，滑輪通過輕桿固定在天花板上，另一與A連接的細(xì)線固定在地面，B與C間距離、C與地面間距離都是L．已知A的質(zhì)量為m₁，B、C的質(zhì)量都是m₂，且m₂＜m₁＜2m₂．A距滑輪足夠遠(yuǎn)，不計(jì)空氣阻力．現(xiàn)將A與地面間的細(xì)線剪斷．求：
（1）A上升過程中的最大速度；
（2）若B恰好著地，求m₁與m₂的關(guān)系；
（3）在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值．

Answer 1

分析 （1）C恰好落地時(shí)A的速度最大，對系統(tǒng)，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出A的最大速度．
（2）B恰好落地時(shí)A、B的速度都為零，應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出A、B質(zhì)量的關(guān)系．
（3）在A上升過程中，B著地前，有兩個(gè)過程．第一個(gè)過程，剪斷細(xì)線至C著地．二個(gè)過程，C著地后至A、B速度為零，或者至B著地．應(yīng)用牛頓第二定律求出細(xì)線的拉力，然后求出輕桿對滑輪拉力的最大值．

解答 解：（1）由于m₁＜2m₂，在C著地前，A向上加速運(yùn)動(dòng)，又由于m₂＜m₁，在C著地后，A向上減速運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)C著地時(shí)，A具有最大速度，設(shè)為v_m，對對A、B、C系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$2{m_2}gL-{m_1}gL=\frac{1}{2}（{m_1}+2{m_2}）υ_m^2$
解得：${υ_m}=\sqrt{\frac{{2（2{m_2}-{m_1}）gh}}{{2{m_2}+m{\;}_1}}}$
（2）B恰好著地，A、B速度都為零，從C著地到B恰好著地，對A、B系統(tǒng)，由動(dòng)能定理得：
${m_2}gL-{m_1}gL=0-\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）υ_m^2$
解得：${m_1}=\sqrt{2}{m_2}$
（3）在A上升過程中，B著地前，細(xì)線中拉力不為零；B著地后，即使A繼續(xù)上升，細(xì)線中拉力為零．所以，在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值出現(xiàn)在B著地前，設(shè)細(xì)線中拉力為T，輕桿對滑輪拉力為F，則  F=2T
在A上升過程中，B著地前，有兩個(gè)過程．
第一個(gè)過程，剪斷細(xì)線至C著地．設(shè)A、B、C加速度大小為a₁，細(xì)線中拉力為T₁，輕桿對滑輪拉力為F₁，則由牛頓第二定律
對A：T₁-m₁g=m₁a₁
對B：2m₂g-T₁=2m₂a₁
又 F₁=2T₁
解得   ${F_1}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$
第二個(gè)過程，C著地后至A、B速度為零，或者至B著地．設(shè)A、B加速度大小為a₂，細(xì)線中拉力為T₂，輕桿對滑輪拉力為F₂，則由牛頓第二定律得
對A：m₁g-T₂=m₁a₂
對B：T₂-m₂g=m₂a₂
又  F₂=2T₂
解得：${F_2}=\frac{{4{m_1}{m_2}g}}{{{m_1}+{m_2}}}$
討論：由于有：${F_1}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$＞${F_2}=\frac{{4{m_1}{m_2}g}}{{{m_1}+{m_2}}}$
所以，在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值為：${F_m}=\frac{{8{m_1}{m_2}g}}{{（{m_1}+2{m_2}）}}$
答：（1）A上升過程中的最大速度是$\sqrt{\frac{2（2{m}_{2}-{m}_{1}）gh}{2{m}_{2}+{m}_{1}}}$；
（2）若B恰好著地，m₁與m₂的關(guān)系是 ${m_1}=\sqrt{2}{m_2}$；
（3）在A上升過程中，輕桿對滑輪拉力的最大值是$\frac{8{m}_{1}{m}_{2}g}{{m}_{1}+2{m}_{2}}$．

點(diǎn)評 本題分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用動(dòng)能定理與牛頓第二定律時(shí)，要注意選擇研究對象和研究的過程，本題可定性判定出c觸地前輕桿對滑輪拉力最大，但必須判定．