Question

4．滑板運(yùn)動(dòng)員在U形槽中的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化成一個(gè)物塊在半徑為R的半圓弧槽中的運(yùn)動(dòng)，半圓弧槽始終靜止不動(dòng)，若物塊在半圓弧槽最低點(diǎn)B的速度為v₀，物塊的質(zhì)量為m，物塊與圓弧槽的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）物塊在最低點(diǎn)對(duì)半圓弧槽的壓力；
（2）物塊在圓弧槽最低點(diǎn)的加速度大�。�
（3）若物塊在C點(diǎn)對(duì)圓弧槽的壓力大小等于mg，則物塊從C點(diǎn)拋出后經(jīng)多長(zhǎng)對(duì)間還能回到C點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）物塊在最低點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)物塊的支持力，再由牛頓第三對(duì)半圓弧槽的壓力；
（2）由a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$求物塊在圓弧槽最低點(diǎn)時(shí)的向心加速度大小，由牛頓第二定律求出切向加速度大小，再合成求加速度大�。�
（3）物塊在C點(diǎn)時(shí)由軌道的彈力提供向心力，由牛頓第二定律求物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度，之后物體作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求時(shí)間．

解答 解：（1）物塊在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律得物塊在最低點(diǎn)對(duì)半圓弧槽的壓力為：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）物塊在圓弧槽最低點(diǎn)時(shí)的向心加速度大小為：a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
切向加速度大小為：a_T=$\frac{μN(yùn)}{m}$=μ（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$）
故所求的加速度大小為：a=$\sqrt{{a}_{n}^{2}+{a}_{T}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$
（3）設(shè)物塊經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度為v．由牛頓第二定律得：N_C=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題有：N_C=mg
得：v=$\sqrt{gR}$
所以物塊從C點(diǎn)拋出后回到C點(diǎn)的時(shí)間為：t=$\frac{2v}{g}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：（1）物塊在最低點(diǎn)對(duì)半圓弧槽的壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）物塊在圓弧槽最低點(diǎn)的加速度大小是$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$．
（3）物塊從C點(diǎn)拋出后經(jīng)2$\sqrt{\frac{R}{g}}$時(shí)間還能回到C點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要明確物塊在最低點(diǎn)時(shí)向心力來(lái)源：合力提供向心力，要注意物塊在最低點(diǎn)的加速度是由合力產(chǎn)生，要運(yùn)用正交分解法求合加速度．