Question

如圖所示，在水平桌面上固定著一個(gè)光滑圓軌道，在軌道的B點(diǎn)靜止著一個(gè)質(zhì)量為m₂的彈性小球乙，另一個(gè)質(zhì)量為m₁的彈性小球甲以初速v₀運(yùn)動(dòng)，與乙球發(fā)生第一次碰撞后，恰在C點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞．則甲、乙兩球的質(zhì)量之比m₁：m₂等于（　�。�

• A、5：3
• B、9：1
• C、1：7
• D、2：3

Answer 1

分析：m₁小球可能直接由A到B與m₂小球碰撞，也可能由A到D到C再到B與m₂小球碰撞，碰撞過程遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，由兩大守恒列方程得到碰撞后速度關(guān)系式，再由圓周知識(shí)確定碰撞后速度大小之比，再求解質(zhì)量之比．

解答：解：設(shè)碰撞后m₁、m₂的速度分別為v₁、v₂．
第一種情況：m₁小球由A到B撞m₂，且m₁碰撞后反向，以v₀方向?yàn)檎�，由�?dòng)量守恒定律得：
m₁v₀=m₂v₂-m₁v₁…①
因?yàn)榍≡贑點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，m₁運(yùn)動(dòng)

3

4

周，m₂運(yùn)動(dòng)

1

4

周，而在相同時(shí)間內(nèi)，線速度大小與路程成正比，則有：
3v₂=v₁…②
且m₁、m₂為彈性球發(fā)生彈性碰撞，由機(jī)械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…③
將②代人①③得：
m₁（v₀+3v₂）=m₂v₂
m₁（v₀²-9v₂²）=m₂v₂²
兩式相除得：v₀=4v₂
再代入①解得：m₁：m₂=1：7
第二種情況：m₁小球由A到B撞m₂，且碰撞后同向，v₀方向?yàn)檎�，由�?dòng)量守恒定律得：m₁v₀=m₂v₂+m₁v₁ …④
因?yàn)榍≡贑點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，m₁運(yùn)動(dòng)

1

4

周，m₂運(yùn)動(dòng)

5

4

周，故有v₂=5v₁ …⑤
由機(jī)械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…⑥
解得：

m1

m2

=

5

3

第三種情況：m₁小球由A到D到C再到B撞m₂，且m₁碰撞后反向．
以v₀方向?yàn)檎�，由�?dòng)量守恒定律得：
  m₁v₀=m₂v₂-m₁v₁…⑦
因?yàn)榍≡贑點(diǎn)發(fā)生第二次碰撞，m₂運(yùn)動(dòng)

3

4

周，m₁運(yùn)動(dòng)

1

4

周，故有：
  v₂=3v₁…⑧
且m₁、m₂為彈性球發(fā)生彈性碰撞，由機(jī)械能守恒得：

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²…⑧
解得：m₁：m₂=3：5
故選：AC．

點(diǎn)評(píng)：本題碰撞前小球m₁的運(yùn)動(dòng)方向可能存在兩種情況，碰撞遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒．關(guān)鍵是根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的規(guī)律研究碰撞后速度的關(guān)系．