Question

【題目】如圖所示，足夠長(zhǎng)的平直軌道AO和OB底端平滑對(duì)接，將它們固定在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道與水平地面間的夾角分別為α（固定不變）和β（可取不同的值），且α＞β，現(xiàn)將可視為質(zhì)點(diǎn)的一小滑塊從左側(cè)軌道的P點(diǎn)由靜止釋放，若小滑塊經(jīng)過兩軌道的底端連接處的速率沒有變化.已知AO軌道光滑，空氣阻力可以忽略不計(jì).

(1)論證：滑塊在AO軌道下滑時(shí)的加速度與滑塊的質(zhì)量無關(guān)；

(2)運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，論證:若OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達(dá)的最高點(diǎn)總與P等高；

(3)運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，論證:若OB不光滑，滑塊與OB軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相等，取不同的β角，滑塊在OB上能到達(dá)的最高點(diǎn)排布在一條直線上.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】

小球先在斜面AO上向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，后沿斜面OB向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和速度時(shí)間關(guān)系公式、位移時(shí)間關(guān)系公式可以得出對(duì)應(yīng)的規(guī)律.證明最高點(diǎn)構(gòu)成一條直線需要聯(lián)系數(shù)學(xué)構(gòu)建一次函數(shù).

(1)對(duì)滑塊受力分析，受重力、斜面的支持力，

由牛頓第二定律：

得：，則下滑加速度與滑塊的質(zhì)量無關(guān).

(2)設(shè)OP的豎直高度為H

由勻加速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式

若OB光滑，則滑塊上滑做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)上升的最大高度為

則

聯(lián)立解得：，

即OB光滑，取不同的β角，滑塊在OB上能到達(dá)的最高點(diǎn)總與P等高.

(3)設(shè)粗糙斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為，以O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立豎直向上和水平向右的坐標(biāo)系，設(shè)最高點(diǎn)的水平坐標(biāo)x，總坐標(biāo)為y.

由受力結(jié)合牛頓第二定律可得，上滑的加速度為

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

聯(lián)立解得：

可得最高點(diǎn)的坐標(biāo)方程為：

由于為一次函數(shù)，且為常量，故Q點(diǎn)在同一直線上.