Question

18．已知某行星半徑為R，以該行星第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星的角速度為ω，圍繞該行星運(yùn)動(dòng)的同步衛(wèi)星運(yùn)行速度為v，則該行星的自轉(zhuǎn)周期為（　�。�

• A． $\frac{2{π}^{2}{R}^{2}}{ω{v}^{2}}$
• B． $\frac{2π{ω}^{2}{R}^{3}}{{v}^{3}}$
• C． $\frac{2π}{ω}$
• D． $\frac{4{π}^{3}{R}^{3}}{{v}^{3}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度的軌道半徑為R，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$求出GM，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$，求出同步衛(wèi)星的高度；行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期，根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}$求出自轉(zhuǎn)周期．

解答 解：設(shè)同步衛(wèi)星距地面高度為h，則：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$…①
以第一宇宙速度運(yùn)行的衛(wèi)星其軌道半徑就是R，則：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}R$…②
由①②得：h=$\frac{{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{{v}_{\;}^{2}}-R$
行星自轉(zhuǎn)周期等于同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期：
T=$\frac{2π（R+h）}{v}$=$\frac{2π{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{{v}_{\;}^{3}}$
故選：B

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道第一宇宙速度是衛(wèi)星貼著行星表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，知道衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)靠萬(wàn)有引力提供向心力．