Question

【題目】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．天文學(xué)家觀測河外星系麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX﹣3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者的連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示，引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T．

（1）可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2 ． 試求m′（用m1、m2表示）
（2）求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1、r2，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相同，其為ω．

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，

對(duì)A：FA=m1ω2r1 對(duì)B：FB=m2ω2r2 FA=FB

設(shè)A、B之間的距離為r又r=r1+r2，由上述各式得r= ①

由萬有引力定律，有FA=G

將①代入得

令

比較可得m′= ②

（2）

解：根據(jù)題意，可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m'的星體對(duì)它的引力，由牛頓第二定律，有 ③

得 m′= ④

又可見星A的線速度大小v= ⑤

由④⑤得，m′=

由②⑤可得

【解析】雙星系統(tǒng)構(gòu)成的條件是雙星的角速度相同，依靠它們之間的萬有引力提供各自的向心力．由于兩星球的加速度不同，必須采用隔離法運(yùn)用牛頓定律分別對(duì)兩星球研究，并通過數(shù)學(xué)變形求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解萬有引力定律及其應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握應(yīng)用萬有引力定律分析天體的運(yùn)動(dòng)：把天體的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬有引力提供.即 F引=F向；應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選用適當(dāng)?shù)墓�式進(jìn)行分析或計(jì)算.②天體質(zhì)量M、密度ρ的估算，以及對(duì)向心力的理解，了解向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大��；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力．