Question

9．如圖所示為賽車場的一個“梨形”賽道，所有直道和彎道都在同一水平面內(nèi)，兩個彎道分別為半徑R=90m的大圓弧和r=40m的小圓弧，直道與彎道相切．切點分別為A、B、C、D．大、小圓弧圓心O、O'距離L=100m．一質(zhì)量m=800kg的賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的k=2.25倍，假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動．求在賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短的情況下（發(fā)動機功率足夠大，剎車性能良好，取g=10m/s²，π=3.14，$\sqrt{3}$=1.73）．
（1）在兩圓弧彎道上的最大速率分別是多少？
（2）賽車道繞行一圈運動的總時間是多少？（保留兩位小數(shù)）

Answer 1

分析 （1）分別由牛頓第二定律解得在彎道的最大速率
（2）根據(jù)運動學公式和圓周運動的規(guī)律求出在直道和彎道上的時間，再求總時間

解答 解：（1）在圓弧彎道上徑向摩擦力提供向心力，由牛頓第二定律得
$kmg=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$
即${v}_{mr}^{\;}=\sqrt{kgr}=\sqrt{2.25×10×40}m/s=30m/s$
${v}_{mR}^{\;}=\sqrt{kgR}=\sqrt{2.25×10×90}m/s=45m/s$
（2）直道的長度$x=\sqrt{{L}_{\;}^{2}-（R-r）_{\;}^{2}}=50\sqrt{3}m$
在直道上運動的平均速度$\overline{v}=\frac{{v}_{mr}^{\;}+{v}_{mR}^{\;}}{2}=\frac{45+30}{2}m/s=\frac{75}{2}m/s$
時間${t}_{1}^{\;}=2\frac{x}{\overline{v}}=2×\frac{50\sqrt{3}}{\frac{75}{2}}s=4.61s$
由幾何關(guān)系知小圓弧對應(yīng)的圓心角${θ}_{1}^{\;}=120°$，大圓弧對應(yīng)的圓心角${θ}_{2}^{\;}=240°$
在小圓弧上運動的時間${t}_{2}^{\;}=\frac{2πr}{3{v}_{mr}^{\;}}=\frac{2×3.14×40}{3×30}s=2.79s$
在大圓弧上運動的時間${t}_{3}^{\;}$=$\frac{4πR}{3{v}_{mR}^{\;}}=\frac{4×3.14×90}{3×45}s=8.37s$
總時間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=15.77s$
答：（1）在兩圓弧彎道上的最大速率分別是30m/s、45m/s
（2）賽車道繞行一圈運動的總時間是15.77s

點評 解答此題的關(guān)鍵是由題目獲得條件：①在彎道上由最大靜摩擦力提供向心力②由數(shù)學知識求得圓心角，另外還要熟練掌握勻速圓周運動的知識．