Question

2．目前霧霾天氣仍然困擾人們，為了解決此難題很多環(huán)保組織和環(huán)保愛好者不斷研究．某個環(huán)保組織研究發(fā)現(xiàn)通過降雨能有效解決霧霾天氣．當雨滴在空中下落時，不斷與漂浮在空氣中的霧霾顆粒相遇并結合為一體，其質量不斷增大，直至落地．現(xiàn)將上述過程簡化為沿豎直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始質量為m，初速度為v₀，每個霧霾顆粒質量均為m₀，假設霧霾顆粒均勻分布，且雨滴每下落距離h后才與靜止的霧霾顆粒碰撞并立即結合在一起．試求：
（1）若不計重力和空氣阻力，求第n次碰撞后雨滴的速度大小．
（2）若不計空氣阻力，但考慮重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大�。�
（3）若初始時雨滴受到的空氣阻力是f，假設空氣阻力只與結合體的質量有關．以后每碰撞一次結合體受到的空氣阻力都變?yōu)榕銮暗?倍，當?shù)趎次碰后結合體的機械能為E，求此過程因碰撞損失的機械能△E．

Answer 1

分析 （1）不計重力和空氣阻力時，全過程碰撞過程中均可認為動量守恒，則對全程分析，根據(jù)動量守恒定律可求得第n次碰撞后雨滴的速度大��；
（2）如果考慮重力，則碰撞前雨滴做勻加速運動，由速度和位移公式可求得碰前的速度，再根據(jù)碰撞過程的動量守恒即可求得碰后速度；
（3）對全過程利用功能關系進行列式，同時根據(jù)阻力的變化規(guī)律得出空氣阻力做功的表達式，聯(lián)立即可求得損失的機械能．

解答 解：（1）不計重力和空氣阻力，設向下為正方向，全過程中動量守恒
mv₀=（m+nm₀）v_n     
得 V_n=$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$    
（2）若只受到重力，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運動，
第1次碰撞前v₁²=v₀²+2gh
碰撞瞬間動量守恒 則有 
mv₁=（m+m₀）v₁′
解得v₁′=$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）由功能原理及能量守恒得：
mgnh+$\frac{1}{2}$mv₀²+m₀g{（n-1）h+（n-2）h+（n-3）h+…[n-（n-1）h]}=E+△E+W_f
又W_f=fh+2fh+4fh+…2^n-1fh
兩式聯(lián)立解得△E=nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh     
答：（1）若不計重力和空氣阻力，第n次碰撞后雨滴的速度大小為$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$   
（2）若不計空氣阻力，但考慮重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大小為$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）此過程因碰撞損失的機械能△E為nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh．

點評 本題考查動量守恒定律以及功能關系的應用，解題的難點在于正確找出對應的表達通式，再利用功能關系進行列式求解，所以本題對學生應用數(shù)學分析物理問題的能力要求較高．