Question

7．如圖所示，在xoy坐標(biāo)系的第一象限，y軸和x=L的虛線(xiàn)之間有一方向沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E₀，第一象限虛線(xiàn)x=L的右側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在y軸左側(cè)及虛線(xiàn)MN之間也有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2L），MN與y軸正向的夾角為30°．在第四象限有沿y軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、帶電量為q的帶正電的粒子從電場(chǎng)中緊靠虛線(xiàn)x=L的A點(diǎn)由靜止釋放，A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=L，結(jié)果粒子恰好不從MN穿出，粒子經(jīng)第四象限的電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后經(jīng)x軸上的P點(diǎn)（2L，0）進(jìn)入第一象限的磁場(chǎng)中，結(jié)果粒子從x=L的虛線(xiàn)上的D點(diǎn)垂直虛線(xiàn)進(jìn)入第一象限的電場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）y軸左側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)強(qiáng)度的大小；
（2）第四象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（3）D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，結(jié)合幾何關(guān)系，與牛頓第二定律，即可求解磁感強(qiáng)強(qiáng)度的大�。�
（2）依據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)處理的規(guī)律，即可求解電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合幾何關(guān)系，即可確定求解；
（4）做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，依據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間；做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，依據(jù)周期公式，求解運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，即可求解時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在第一象限的電場(chǎng)加速，依據(jù)動(dòng)能定理，則有，qE₀L=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$；
粒子在y軸左側(cè)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，作出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，
MN與y軸正向的夾角為30°，
根據(jù)幾何關(guān)系，有R+2R=3L
解得：R=L
根據(jù)牛頓第二定律，則有，qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{m\sqrt{\frac{2q{E}_{0}L}{m}}}{qL}$=$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$
（2）粒子進(jìn)入第四象限內(nèi)，在電場(chǎng)中做平拋運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，
則有，L=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
2L=vt
解得：E=E₀；
（3）粒子從x軸上進(jìn)入第一象限與x軸正向的夾角為θ=45°，由幾何關(guān)系，在第一象限磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑R′=$\sqrt{2}L$；
因此D點(diǎn)y坐標(biāo)，y=L+$\sqrt{2}$L=（1+$\sqrt{2}$）L，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為（L，（1+$\sqrt{2}$）L）；
（4）因L=$\frac{1}{2}•\frac{q{E}_{0}}{m}{t}_{1}^{2}$，那么在第一象限中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₁=$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$；
在y軸左側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
在第四象限電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₃=$\frac{2L}{v}$=$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$；
在第一象限磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，t₄=$\frac{2π×\sqrt{2}L×\frac{3}{8}}{\sqrt{2}v}$=$\frac{3π}{8}\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
則有，粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用的時(shí)間t₄=t₁+t₂+t₃+t₄=（2$+\frac{7}{8}π$）$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$
答：（1）y軸左側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)強(qiáng)度的大小$\sqrt{\frac{2{E}_{0}m}{qL}}$；
（2）第四象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E₀；
（3）D點(diǎn)的坐標(biāo)（L，（1+$\sqrt{2}$）L）；
（4）粒子由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用的時(shí)間（2$+\frac{7}{8}π$）$\sqrt{\frac{2mL}{q{E}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，根據(jù)幾何知識(shí)及圓周運(yùn)動(dòng)基本公式解答，同時(shí)掌握平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，及運(yùn)動(dòng)的合成與分解內(nèi)容，難度適中．