Question

宇航員在月球表面完成下面實(shí)驗(yàn)：在一固定的豎直光滑圓弧軌道內(nèi)部最低點(diǎn)靜止一質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）如圖所示，現(xiàn)給小球一瞬間水平速度V，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓弧軌道半徑為r，月球的半徑為R．
（1）月球表面重力加速度g為多大？
（2）軌道半徑為2R的環(huán)月衛(wèi)星周期為多大？

Answer 1

分析：（1）小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，有mg=m

v12

r

，小球在光滑圓弧軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒得出重力加速度的大�。�
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R，以及萬(wàn)有引力等于重力G

Mm

R2

=mg，聯(lián)立解出環(huán)月衛(wèi)星的周期．

解答：解：（1）設(shè)月球表面重力加速度為g，小球在最高點(diǎn)的速度為 v₁，由機(jī)械能守恒定律，小球在從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，有．
              

1

2

mv2=mg?2r+

1

2

mv12①
由題意，小球在最高點(diǎn)時(shí)，有．mg=m

v12

r

  ②
聯(lián)解①②有． g=

v2

5r

故月球表面的重力加速度為g=

v2

5r

．
（2）設(shè)月球質(zhì)量為M，對(duì)衛(wèi)星有．

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R③
在月球表面，有．G

Mm

R2

=mg④
由③④，得T=2π

(2R)3 gR2

=

4π

v

10Rr

故環(huán)月衛(wèi)星的周期為

4π

v

10Rr

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵會(huì)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律定律解題，知道小球在內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)恰好過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件mg=m

v12

r

．以及掌握萬(wàn)有引力提供向心力

GMm

(2R)2

=m(

2π

T

)2?2R和萬(wàn)有引力等于重力G

Mm

R2

=mg．